Problemino con un integrale

[Ghezzabanda]

Salve ragazzi, qualcuno di voi mi sa dire come posso risolvere il seguente integrale?
$int (t^(1/2)-t^(1/3))/(t^(1/3)-1) dt $

[Sk_Anonymous]

Razionalizza il denominatore

[cozzataddeo]

Con la sostituzione

$x = t^(1/6)$ da cui $t = x^6$

risulta $dt = 6x^5dx$ e quindi

$I=int (t^(1/2)-t^(1/3))/(t^(1/3)-1) dt = int (\frac{x^3-x^2}{x^2-1}6x^5)dx = 6 int (\frac{x^7(x-1)}{(x-1)(x+1)})dx=6int(\frac{x^7}{x+1})dx$

Eseguendo la divisione tra polinomi, la frazione integranda si scompone nella somma di un polinomio puro e di una frazione con una costante a numeratore

$I=6int(x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1 - \frac{1}{x+1})dx$

e per integrazione immediata si ha

$I=6[\frac{1}{7}x^7-\frac{1}{6}x^6+\frac{1}{5}x^5-\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2+x-ln|x+1|]+k$

Riprendendo ora la sostituzione iniziale

$x = t^(1/6)$

si ottiene il risultato finale

$I=6[\frac{1}{7}t^(7/6)-\frac{1}{6}t+\frac{1}{5}t^(5/6)-\frac{1}{4}t^(2/3)+\frac{1}{3}t^(1/2)-\frac{1}{2}t^(1/3)+t^(1/6)-ln|t^(1/6)+1|]+k$

che, a meno di errori di conti, dovrebbe essere corretto ...