Problemino con la norma...

[Faith2]

Se considero una norma qualsiasi nello spazio vettoriale reale di dimensione n... la indico così:

N: R^n -> R

Come posso dimostrare che per ogni coppia di vettori x e y di R^n :

N(x) - N (y) <= N(x-y)

...quali proprietà delle norma devo usare?

[Sk_Anonymous]

La disuguglianza triangolare! Per ogni $x, y \in \mathbb{R}^n$, vale $N(x) = N((x - y) + y) \le N(x-y) + N(y)$, q.e.d. E ovviamente la proprietà si estende a un qualsiasi spazio pseudonormato.

[Kroldar]

Consentitemi una piccola precisazione...

"Faith":Se considero una norma qualsiasi nello spazio vettoriale reale di dimensione n... la indico così:
N: R^n -> R

Credo che invece dovrebbe essere $N:R^ntoR_+$

[Faith2]

Grazie! non c'avevo proprio pensato!

avrei un'altra domanda...

se invece definisco una norma per operatori lineari e nella definizione di questa viene considerata la matrice associata all'operatore lineare rispetto ad una fissata base...


come faccio a dimostrare che la norma dell'operatore lineare non dipende dalla base fissata?

[Sk_Anonymous]

"Kroldar":Consentitemi una piccola precisazione...
[quote="Faith"]Se considero una norma qualsiasi nello spazio vettoriale reale di dimensione n... la indico così: N: R^n -> R

Credo che invece dovrebbe essere $N:R^ntoR_+$[/quote]
Precisazione inutile, visto che la semidefinitezza in segno delle pseudonorme segue direttamente dalle altre proprietà: $0 = N(0) = \le N(x) + N(-x) = 2N(x)$, e quindi $N(x) \ge 0$, qualunque sia $x \in \mathbb{R}^n$.

[Kroldar]

effettivamente per la proprietà di omogeneità e per la disuguaglianza triangolare risulta ridondante dire che la norma assume valori non negativi...

[Sk_Anonymous]

"Faith":
se invece definisco una norma per operatori lineari e nella definizione di questa viene considerata la matrice associata all'operatore lineare rispetto ad una fissata base...

Questo non è affatto vero. Dipende tutto dalla norma che vai a definire! Per esempio...

Se $V$ è uno spazio lineare non banale (reale o complesso) di dimensione finita $n \in \mathbb{N}$ ed $f: V \to V$ è un operatore lineare, denotiamo con $A_f$ è la matrice associata ad $f$ rispetto alle basi $B_1$ del dominio e $B_2$ del codominio. Supponendo allora che $| \cdot |$ sia una qualunque norma su $V$ (la cui esistenza è certamente garantita dal lemma di Ostrowski), la funzione $N: B(V,V) \to \mathbb{R}: f \to $sup$\{\frac{|A_{f} x|}{|x|}: x \ne 0\}$ definisce in modo naturale una norma su $B(V,V)$, lo spazio delle applicazioni lineari di $V$ in $V$. Tuttavia non è vero che $N$ è invariante per $A_f$.

Al contrario, la mappa $N: B(V,V) \to \mathbb{R}: f \to $sup$\{\frac{x^t A_{f} x}{x^t x}: x \ne 0\}$, che pure è una norma su $V$, è indipendente dalla scelta della matrice $A_f$ di rappresentazione.

Pertanto dimmi un po' tu...