Problemino
Mi aiutereste con questo problema di analisi:
"Vogliamo costruire delle scatole cilindriche che devono contenere un certo volume V di marmellata. Il coperchio e il fondo sono una volta e mezza più spesse delle pareti. Per un dato volume V, come dobbiamo scegliere il rapporto tra il raggio e l'altezza del cilindro per minimizzare la quantità di materiale necessario?"
grazie
p.s: io arrivo a trovare la formula/funzione del volume esterno del cilindro, ma poi non so bene come derivarla al fine di poter trovare il minimo.
L.L
"Vogliamo costruire delle scatole cilindriche che devono contenere un certo volume V di marmellata. Il coperchio e il fondo sono una volta e mezza più spesse delle pareti. Per un dato volume V, come dobbiamo scegliere il rapporto tra il raggio e l'altezza del cilindro per minimizzare la quantità di materiale necessario?"
grazie
p.s: io arrivo a trovare la formula/funzione del volume esterno del cilindro, ma poi non so bene come derivarla al fine di poter trovare il minimo.
L.L
Risposte
Considerando lo spessore << di r e h la quantità di materiale necessario è proporzionale alla superficie totale del cilindro cioè:
2*pi*rh + (3/2)(2*pi*r^2)
Essendo h = V/(pi*r^2) essa diventa:
2V/r + 3*pi*r^2
Derivando rispetto al raggio si ottiene:
-2V/r^2 + 6*pi*r
La derivata si annulla per r^3 = V/(3*pi) cioè quando r = h/3.
2*pi*rh + (3/2)(2*pi*r^2)
Essendo h = V/(pi*r^2) essa diventa:
2V/r + 3*pi*r^2
Derivando rispetto al raggio si ottiene:
-2V/r^2 + 6*pi*r
La derivata si annulla per r^3 = V/(3*pi) cioè quando r = h/3.
grazie x la risposta; xo ho qualche domanda:
2*pi*r*h è la superfice interna del cilindro, ma 3/2*2*pi*r^2 cosa è?
Il coperchio e il fondo sono piu spessi in altezza, non in larghezza.
inoltre, quando derivi rispetto al raggio..non dovresti pure considerare che il volume è in funzione del raggio?
L.L
2*pi*r*h è la superfice interna del cilindro, ma 3/2*2*pi*r^2 cosa è?
Il coperchio e il fondo sono piu spessi in altezza, non in larghezza.
inoltre, quando derivi rispetto al raggio..non dovresti pure considerare che il volume è in funzione del raggio?
L.L
Indicando con s lo spessore (costante), la quantità di materiale della superfice laterale è 2*pi*r*h*s mentre quello delle due basi è 2*pi*r^2*(3/2)s.
Il volume V del contenitore è da considerarsi costante.
Il volume V del contenitore è da considerarsi costante.
ah ok, thanks, ora son abbastanza in chiaro.
Però ho un ultimissima domanda: sei sicuro di quel h/3? (e se sì, come l'hai trovato?)
grazie
ciau
L.L
Però ho un ultimissima domanda: sei sicuro di quel h/3? (e se sì, come l'hai trovato?)
grazie
ciau
L.L
Ho semplicemente sostituito nel risultato la formula del volume. Si ha:
r^3 = V/(3*pi) = (pi*r^2*h)/(3*pi) ===> r = h/3.
r^3 = V/(3*pi) = (pi*r^2*h)/(3*pi) ===> r = h/3.
Ho esaminato il problema proposto, perche’ qualcosa non mi tornava.
Ho notato per es. che per il calcolo della quantita’ di materiale si e’
moltiplicato lo spessore per la superficie della parte cilindrica, il che
non e’ la stessa cosa che calcolarne il volume (non 2*pi*r*h*s ma
pi*((r+s)^2 – r^2)*h ..... ).
La conclusione e’ che il risultato di h/r=3 per ottenere il valore
minimo della quantita’ di materiale occorrente e’ comunque esatto
(perche’ fortunatamente il rapporto non dipende dal valore di s),
anche se non e’ corretta la formula del volume.
Riporto una procedura di calcolo in MathCad (che dovrebbe essere
direttamente comprensibile).
Vi e’ il volume interno (utile), Ve quello esterno (quello del materiale
e’ la differenza fra i due, ma a Vi costante si cerca il minimo di Ve)
La seconda parte e’ invece la ricerca diretta del valore minimo (senza
derivate) utilizzando le variabili indicizzate del MathCad e supponendo
di fissare Vi (=0.5 dm^3) ed s (=3 mm).
Si e’ direttamente indicizzato il valore di k (=h/r) per trovare il valore
dell’indice che corrisponde al minimo di Ve.
Il metodo e’ comodo soprattutto per osservare ‘sperimentalmente’
l’influenza dei singoli parametri sul risultato.
Si puo’ ad es. verificare che un cambiamento di s comporta una traslazione
verticale della curva, mantenendo inalterata la posizione orizzontale
del minimo.
Una osservazione ancor piu’ interessante e’ relativa a k(min)
Questo corrisponde infatti al valore che caratterizza gli spessori del fondo
e del coperchio (vedi cerchi in rosso): k=3 deriva dal fatto che nel problema
i 2 spessori sono (3/2)*s.
Se questi fossero entrambi = s, risulterebbe k=2.
Se il fondo fosse = s ma mancasse il coperchio, risulterebbe k=1.
Altro che ‘problemino’!
Ho notato per es. che per il calcolo della quantita’ di materiale si e’
moltiplicato lo spessore per la superficie della parte cilindrica, il che
non e’ la stessa cosa che calcolarne il volume (non 2*pi*r*h*s ma
pi*((r+s)^2 – r^2)*h ..... ).
La conclusione e’ che il risultato di h/r=3 per ottenere il valore
minimo della quantita’ di materiale occorrente e’ comunque esatto
(perche’ fortunatamente il rapporto non dipende dal valore di s),
anche se non e’ corretta la formula del volume.
Riporto una procedura di calcolo in MathCad (che dovrebbe essere
direttamente comprensibile).
Vi e’ il volume interno (utile), Ve quello esterno (quello del materiale
e’ la differenza fra i due, ma a Vi costante si cerca il minimo di Ve)
La seconda parte e’ invece la ricerca diretta del valore minimo (senza
derivate) utilizzando le variabili indicizzate del MathCad e supponendo
di fissare Vi (=0.5 dm^3) ed s (=3 mm).
Si e’ direttamente indicizzato il valore di k (=h/r) per trovare il valore
dell’indice che corrisponde al minimo di Ve.
Il metodo e’ comodo soprattutto per osservare ‘sperimentalmente’
l’influenza dei singoli parametri sul risultato.
Si puo’ ad es. verificare che un cambiamento di s comporta una traslazione
verticale della curva, mantenendo inalterata la posizione orizzontale
del minimo.
Una osservazione ancor piu’ interessante e’ relativa a k(min)
Questo corrisponde infatti al valore che caratterizza gli spessori del fondo
e del coperchio (vedi cerchi in rosso): k=3 deriva dal fatto che nel problema
i 2 spessori sono (3/2)*s.
Se questi fossero entrambi = s, risulterebbe k=2.
Se il fondo fosse = s ma mancasse il coperchio, risulterebbe k=1.
Altro che ‘problemino’!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo