Problemi sulla differenziabilità

[stefano_89]

buonasera, ho un classico esercizio sulla differenziabilità da porvi.
Ho la funzione: $f(x,y) = x^2sen(1/x) + y^2cos(1/y)$ per $x!=0, y!=0$, mentre assume il valore zero altrimenti.
Devo trovare se la funzione è differenziabile nel punto (1,0)

Ho pensato di usare il limite: $lim_((h,k)->(0,0))(f(x_0 + h, y_0 + k) - f(x_0, y_0) - ..... )/(||h + k||)

il problema è devo calcolare le derivate parziali, comincio con la derivata in x: $f_x = 2xsen(1/x) - x^2cos(1/x)1/x^2$ che nel punto (1,0) mi darebbe: $2sen(1) - cos(1)$, e fin qui sembra tutto ok. Ciò che non mi torna è quando provo a calcolare la derivata utilizzando il rapposto incrementale, cioé:
$f_x = lim_(h -> 0) (f(1 + h, 0) - f(1,0))/h = lim_(h -> 0) ((1+ h)^2sen(1/(1 + h)) - sen(1))/(h) = lim_(h -> 0) (sen(1) + 2hsen(1/(1 + h)) + h^2sen(1/(1 + h)) - sen(1))/(h) = lim_(h -> 0) 2sen(1/(1 + h)) + hsen(1/(1 + h))$ quindi per concludere: $f_x = 2sen(1)$

Cosa ho sbagliato??

grazie a tutti..

[deserto1]

"stefano_89":
$f_x = lim_(x -> 0) (f(1 + h, 0) - f(1,0))/h = lim_(x -> 0) ((1+ h)^2sen(1/(1 + h)) - sen(1))/(h) = lim_(x -> 0) (sen(1) + 2hsen(1/(1 + h)) + h^2sen(1/(1 + h)) - sen(1))/(h) = lim_(x -> 0) 2sen(1/(1 + h)) + hsen(1/(1 + h))$ quindi per concludere: $f_x = 2sen(1)$

$ lim_(h -> 0) ((1+ h)^2sen(1/(1 + h)) - sen(1))/(h) = lim_(h -> 0) (sen(1/(1 + h)) + 2hsen(1/(1 + h)) + h^2sen(1/(1 + h)) - sen(1))/(h)$
[/quote]

[stefano_89]

scusa ma perchè avrei sbagliato in quel punto ? ho semplicemente sviluppato la parentesi elevata al quadrato..

EDIT: avevo automaticamente tolto l' incremento "h" dal primo seno. Ma questo mi incasina solo di più..

[deserto1]

Hai scritto $sen(1/(1 + h))=sen(1)$ eliminando $h$ nel primo addendo al numeratore.

[stefano_89]

"deserto":Hai scritto $sen(1/(1 + h))=sen(1)$ eliminando $h$ nel primo addendo al numeratore.

sisi me en sono accorto dopo, infatti ho corretto l' ultimo messaggio prima che rispondessi.. ma questo mi complicae basta la vista..
ho prodavo a trasformare $sen(1/(1 + h))$ con le formule di Werner, ma niente, stesso risultato di prima. perchè ho provato a scrivere:

$sen(1/(1 + h)) = sen(1 + h/(1 + h)) = 2sen(1)cos(h/(1 + h)) - sen(1 + h/(1 + h)) $

p.s. ho utilizzato la prima formula che trovi qui: http://it.wikipedia.org/wiki/Formule_di_Werner

[deserto1]

$(sen(1/(1 + h)) + 2hsen(1/(1 + h)) + h^2sen(1/(1 + h)) - sen(1))/(h)=$

$=2sen(1/(1 + h))+hsen(1/(1 + h))+(sen(1/(1 + h))- sen(1))/h$

scritto così, inizi ad intravvedere qualcosa?

[stefano_89]

"deserto":$(sen(1/(1 + h)) + 2hsen(1/(1 + h)) + h^2sen(1/(1 + h)) - sen(1))/(h)=$

$=2sen(1/(1 + h))+hsen(1/(1 + h))+(sen(1/(1 + h))- sen(1))/h$

scritto così, inizi ad intravvedere qualcosa?

Ah adesso si!
si tratta del rapporto incrementale di $sen(1/x)$ con $x = 1$, quindi la sua derivata è $cos..$ e il problema è risolto..

grazie mille!