Problemi su sviluppi e serie
Ciao a tutti, sto svolgendo qualche esercizio sulle serie e mi sono accorto di avere non pochi dubbi. Il problema principale è in realtà dovuto al fatto che ho un piccolo problema con gli sviluppi, ovvero non so bene quando posso o non posso usarli. Mi spiego:
gli sviluppi di taylor mi permettono di approssimare una funzione in modo da avere una forma più comoda, e posso usarli, con attenzione, quando voglio(giusto?). Inoltre una cosa che non mi è chiara è se i cosiddetti sviluppi notevoli sono effettivamente sviluppi di taylor di funzioni note( come quelle trigonometriche, o $e^(\epsilon)$), e quindi posso usarli sempre, o se posso usarli solo nei limiti.
Per spiegarmi meglio scrivo di seguito tre esercizi che ho svolto su cui non sono sicuro di calcoli, procedimento, e utilizzo degli sviluppi.
I primi due sono completamente svolti e vi ho trovato meno problemi(solo nel secondo uso gli sviluppi notevoli al di fuori di un limite)
Il terzo invece è più complicato e non sono riuscito a svolgerlo del tutto, anche perchè l'unica idea che ho per finirlo si riconduce agli sviluppi, su cui appunto ho dei dubbi. Essendo questo l'esercizio su cui ho più problemi, se qualcuno sapesse come svolgerlo mi sarebbe d'aiuto.
grazie in anticipo
1) $\sum_{n=1}^infty (e^((a-1)(a+2)n))*log(1 + e^(an))$
Qui ho ragionato utilizzando il criterio della radice, dove ottengo
$root(n)(a(n)) = e^((a-1)(a+2))*root(n)(log(1 + e^(an))) = e^((a-1)(a+2))*e^((log(log(1 + e^(an)))/n) $
da qui ho pensato di distinguere in due casi, ovvero $a>0$ e $a<0$
i) caso $a>0$
qui ho detto che:
$e^((a-1)(a+2))*e^((log(log(1 + e^(an)))/n)$ $ = e^((a-1)(a+2))*e^((log(log(e^(an)) + log(1+ 1/e^(an)))/n) $ $ = e^((a-1)(a+2))*e^((log( an + 1/e^(an))/n) $
e quindi
$\lim_{n \to \infty}root(n)(an) = e^((a-1)(a+2)) $ (giusto?)
quindi applicando il criterio della radice ho che la serie converge per $ a>1 $
ii) caso $a<0$
qui ho ragionato nel modo seguente: visto che $e^(an)$ è già un infinitesimo, ho che
$e^((a-1)(a+2))*e^((log(log(1 + e^(an)))/n) $ $= e^((a-1)(a+2))*e^((log(e^(an))/n) $ $ = e^((a-1)(a+2)a) $
quindi in questo caso il mio limite tende a
$ e^((a-1)(a+2)a) $
e di conseguenza la mia serie in questo caso converge per $ -2
riassumendo mi esce che la serie converge per $ -21$ Qualcuno sa dirmi se è tutto corretto?
2)devo determinare, al variare di $a$ reale, la convergenza di
$\sum_{n=1}^infty log(1 + n^(2a))/(n^(4a) + arctan(n^3)) $
la prima cosa che ho fatto è stato riscrivere il termine generale, notando che è asintotico a
$ (2a(log(n)) + log(1 + 1/n^(2a)))/n^(4a) $ $ = (2a(log(n)) + 1/(n^(2a)))/n^(4a) $
dove ho ignorato l'arcotangente poichè funzione limitata, e dove ho usato lo sviluppo del logaritmo per ottenere l'ultima forma che ho scritto.
da qui ho distinto in due casi:
i) $a>o$
ho che
$ = (2a(log(n)) + 1/(n^(2a)))/n^(4a) $ $ = 1/(2a) * 1/(n^(4a) log^-(1)(n) $
e, sapendo che la serie $\sum_{k=1}^N 1/(n^(p) log^(q)(n)$ converge per p>1 e q qualunque, ho che la mia serie converge per
$a>1/4$
ii)caso $a<0$
ho che
$ = (2a(log(n)) + 1/(n^(2a)))/n^(4a) $ $ = (1/n^(2a))/(n^(4a)) $ $ = 1/n^(6a) $
ed essendo $a < 0$ ottengo che la mia serie converge per $a < -1/6$.
Riassumendo la serie converge per $ a > 1/4$ e $a < -1/6$.
è corretto?
3)Sia
$a(n) = 1/sin(1/n) * [e^((n*sqrt(2) -1)/n^2)-1] $
e
L := $\lim_{n \to \infty} a(n)$
Devo determinare per quali p reali è convergente la serie numerica
$\sum_{n=1}^infty n^(p)(a(n) - L)$
il primo problema che ho riscontrato è stato nel calcolo del limite, che ho svolto nel seguente modo
$\lim_{n \to \infty} a(n)$ $ = \lim_{n \to \infty} 1/sin(1/n) * [e^((n*sqrt(2) -1)/n^2)-1] $ $ = \lim_{n \to \infty} 1/sin(1/n) * [e^((n*sqrt(2)*(1 -1/(sqrt(2)n)))/n^2)-1]$ $ = \lim_{n \to \infty} 1/sin(1/n) * [e^((sqrt(2)*(1 -1/(sqrt(2)n)))/n)-1] $
fin qui penso sia tutto giusto. Ora, partendo dall'ultimo passaggio pensavo di considerare l'esponente di $e$ come $sqrt(2)/n$
posso farlo? penso di si perchè penso $ -1/(sqrt(2)n) $ come $o(1)$ no?
comunque nel caso in cui fosse corretto, ecco come sono andato avanti
$\lim_{n \to \infty} 1/sin(1/n) * [e^((sqrt(2)*(1 -1/(sqrt(2)n)))/n)-1] $ $ = \lim_{n \to \infty} 1/sin(1/n) * [e^(sqrt(2)/n) - 1] $
da qui, usando gli sviluppi:
$\lim_{n \to \infty} 1/sin(1/n) * [e^(sqrt(2)/n) - 1] $ $ =\lim_{n \to \infty} 1/(1/n) * sqrt(2)/n $ $ = sqrt(2) = L$
Tornando alla serie, non so bene come procedere. Posso ora considerare il termine generale della serie come
$n^(p)(a(n) - sqrt(2))$ $ = n^(p)[1/sin(1/n) * (e^((n*sqrt(2) -1)/n^2)-1) - sqrt(2)] $
da qui cosa devo fare? perchè il mio dubbio è che io non possa usare gli sviluppi notevoli in questo caso perchè non sto effettivamente facendo il limite, e nemmeno usare i polinomi di taylor perchè non sto considerando la funzione in un particolare punto(se qualcuno potesse spiegarmi quando posso usare sicuramente gli sviluppi gliene sarei grato).
Ecco, se qualcuno avesse un idea su come svolgere questa serie mi sarebbe molto d'aiuto.
gli sviluppi di taylor mi permettono di approssimare una funzione in modo da avere una forma più comoda, e posso usarli, con attenzione, quando voglio(giusto?). Inoltre una cosa che non mi è chiara è se i cosiddetti sviluppi notevoli sono effettivamente sviluppi di taylor di funzioni note( come quelle trigonometriche, o $e^(\epsilon)$), e quindi posso usarli sempre, o se posso usarli solo nei limiti.
Per spiegarmi meglio scrivo di seguito tre esercizi che ho svolto su cui non sono sicuro di calcoli, procedimento, e utilizzo degli sviluppi.
I primi due sono completamente svolti e vi ho trovato meno problemi(solo nel secondo uso gli sviluppi notevoli al di fuori di un limite)
Il terzo invece è più complicato e non sono riuscito a svolgerlo del tutto, anche perchè l'unica idea che ho per finirlo si riconduce agli sviluppi, su cui appunto ho dei dubbi. Essendo questo l'esercizio su cui ho più problemi, se qualcuno sapesse come svolgerlo mi sarebbe d'aiuto.
grazie in anticipo
1) $\sum_{n=1}^infty (e^((a-1)(a+2)n))*log(1 + e^(an))$
Qui ho ragionato utilizzando il criterio della radice, dove ottengo
$root(n)(a(n)) = e^((a-1)(a+2))*root(n)(log(1 + e^(an))) = e^((a-1)(a+2))*e^((log(log(1 + e^(an)))/n) $
da qui ho pensato di distinguere in due casi, ovvero $a>0$ e $a<0$
i) caso $a>0$
qui ho detto che:
$e^((a-1)(a+2))*e^((log(log(1 + e^(an)))/n)$ $ = e^((a-1)(a+2))*e^((log(log(e^(an)) + log(1+ 1/e^(an)))/n) $ $ = e^((a-1)(a+2))*e^((log( an + 1/e^(an))/n) $
e quindi
$\lim_{n \to \infty}root(n)(an) = e^((a-1)(a+2)) $ (giusto?)
quindi applicando il criterio della radice ho che la serie converge per $ a>1 $
ii) caso $a<0$
qui ho ragionato nel modo seguente: visto che $e^(an)$ è già un infinitesimo, ho che
$e^((a-1)(a+2))*e^((log(log(1 + e^(an)))/n) $ $= e^((a-1)(a+2))*e^((log(e^(an))/n) $ $ = e^((a-1)(a+2)a) $
quindi in questo caso il mio limite tende a
$ e^((a-1)(a+2)a) $
e di conseguenza la mia serie in questo caso converge per $ -2
riassumendo mi esce che la serie converge per $ -2
2)devo determinare, al variare di $a$ reale, la convergenza di
$\sum_{n=1}^infty log(1 + n^(2a))/(n^(4a) + arctan(n^3)) $
la prima cosa che ho fatto è stato riscrivere il termine generale, notando che è asintotico a
$ (2a(log(n)) + log(1 + 1/n^(2a)))/n^(4a) $ $ = (2a(log(n)) + 1/(n^(2a)))/n^(4a) $
dove ho ignorato l'arcotangente poichè funzione limitata, e dove ho usato lo sviluppo del logaritmo per ottenere l'ultima forma che ho scritto.
da qui ho distinto in due casi:
i) $a>o$
ho che
$ = (2a(log(n)) + 1/(n^(2a)))/n^(4a) $ $ = 1/(2a) * 1/(n^(4a) log^-(1)(n) $
e, sapendo che la serie $\sum_{k=1}^N 1/(n^(p) log^(q)(n)$ converge per p>1 e q qualunque, ho che la mia serie converge per
$a>1/4$
ii)caso $a<0$
ho che
$ = (2a(log(n)) + 1/(n^(2a)))/n^(4a) $ $ = (1/n^(2a))/(n^(4a)) $ $ = 1/n^(6a) $
ed essendo $a < 0$ ottengo che la mia serie converge per $a < -1/6$.
Riassumendo la serie converge per $ a > 1/4$ e $a < -1/6$.
è corretto?
3)Sia
$a(n) = 1/sin(1/n) * [e^((n*sqrt(2) -1)/n^2)-1] $
e
L := $\lim_{n \to \infty} a(n)$
Devo determinare per quali p reali è convergente la serie numerica
$\sum_{n=1}^infty n^(p)(a(n) - L)$
il primo problema che ho riscontrato è stato nel calcolo del limite, che ho svolto nel seguente modo
$\lim_{n \to \infty} a(n)$ $ = \lim_{n \to \infty} 1/sin(1/n) * [e^((n*sqrt(2) -1)/n^2)-1] $ $ = \lim_{n \to \infty} 1/sin(1/n) * [e^((n*sqrt(2)*(1 -1/(sqrt(2)n)))/n^2)-1]$ $ = \lim_{n \to \infty} 1/sin(1/n) * [e^((sqrt(2)*(1 -1/(sqrt(2)n)))/n)-1] $
fin qui penso sia tutto giusto. Ora, partendo dall'ultimo passaggio pensavo di considerare l'esponente di $e$ come $sqrt(2)/n$
posso farlo? penso di si perchè penso $ -1/(sqrt(2)n) $ come $o(1)$ no?
comunque nel caso in cui fosse corretto, ecco come sono andato avanti
$\lim_{n \to \infty} 1/sin(1/n) * [e^((sqrt(2)*(1 -1/(sqrt(2)n)))/n)-1] $ $ = \lim_{n \to \infty} 1/sin(1/n) * [e^(sqrt(2)/n) - 1] $
da qui, usando gli sviluppi:
$\lim_{n \to \infty} 1/sin(1/n) * [e^(sqrt(2)/n) - 1] $ $ =\lim_{n \to \infty} 1/(1/n) * sqrt(2)/n $ $ = sqrt(2) = L$
Tornando alla serie, non so bene come procedere. Posso ora considerare il termine generale della serie come
$n^(p)(a(n) - sqrt(2))$ $ = n^(p)[1/sin(1/n) * (e^((n*sqrt(2) -1)/n^2)-1) - sqrt(2)] $
da qui cosa devo fare? perchè il mio dubbio è che io non possa usare gli sviluppi notevoli in questo caso perchè non sto effettivamente facendo il limite, e nemmeno usare i polinomi di taylor perchè non sto considerando la funzione in un particolare punto(se qualcuno potesse spiegarmi quando posso usare sicuramente gli sviluppi gliene sarei grato).
Ecco, se qualcuno avesse un idea su come svolgere questa serie mi sarebbe molto d'aiuto.
Risposte
"fenghuang":
gli sviluppi di taylor mi permettono di approssimare una funzione in modo da avere una forma più comoda, e posso usarli, con attenzione, quando voglio(giusto?). Inoltre una cosa che non mi è chiara è se i cosiddetti sviluppi notevoli sono effettivamente sviluppi di taylor di funzioni note( come quelle trigonometriche, o $e^(\epsilon)$), e quindi posso usarli sempre, o se posso usarli solo nei limiti.
Per gli sviluppi di Taylor ci sarebbero da chiarire molte cose - magari se seguirai un corso di analisi numerica, le vedrai direttamente lì.
Cercherò, comunque, di essere breve e di dire le più importanti.
Innanzitutto, lo sviluppo di Taylor puoi utilizzarlo efficacemente solo se hai una funzione abbastanza regolare ($C^n$ con $n$ "apprezzabile"). Questa è una cosa abbastanza ovvia ma in alcuni ambiti potrebbe rivelarsi limitativa.
La comodità dello sviluppo di Taylor, sta nell'approssimare una funzione - generalmente difficile o, comunque, ostica - con un polinomio e, si sa, i polinomi sono le funzioni più semplici che si possono avere in matematica.
Tuttavia, il rovescio della medaglia sta nel fatto che la formula di Taylor è utile solamente nell'intorno di un punto - che poi sarebbe l'$x_0$ centro stesso dello sviluppo - poiché man mano che ti allontani ottieni errori spropositati rispetto ad altri tipi di approssimazioni (rimando sempre all'analisi numerica).
La risposta, dunque, secondo me è "sì", ma al fatto che la puoi utilizzare solo nei limiti. Quando calcoli un limite ($x$ tendente a un valore finito), stai valutando il comportamento che assume una funzione in prossimità di un punto quindi puoi porti proprio in un intorno di tale punto e lo sviluppo di Taylor risulterà efficace.
Per il resto, per ora non mi pronuncio sugli esercizi - vuoi anche per il tempo a disposizione - anche perché oggi in un altro post ho letto male il testo e ho detto una cosa per un'altra. Tra l'altro hai risposto anche tu a quella discussione e magari sai di cosa parlo!
la parte teorica la conoscevo pure io, però mi hai comunque aiutato a chiarirmi le idee su quando utilizzare o meno gli sviluppi, quindi grazie Zero87! 
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