Problemi su argomenti di analisi1
Salve, ho una prova in itinere di analisi1 e facendo gli esercizi mi sono ritrovata con alcuni dubbi. Invece di aprire più topic li metto tutti quì di seguito numerati in modo che chi volesse rispondermi potrà fare riferimento al numero dell'esercizio. Grazie in anticipo... 
1) Si tratta di numeri complessi in forma trigonometrica
a) $(1+i)/((sqrt3)+i)^3
Devo calcolarne le radici cubiche utilizzando il numero in forma trigonometrica
2) Altri dubbi li ho sulla topologia degli insiemi
a) Se ho questo intervallo $E=[-n/4+2kn,(3n)/4+2kn[ k in Z$ (la n sta per pigreco)
I punti di frontiera sono entrambi gli estremi?
L'insieme è limitato o illimitato?
Quale è la sua parte interna e la sua chiusura?
Quali dei due estremi è punto di accumulazione?
Qual è il suo complementare?
L'insieme è un aperto o un chiuso?
3) Poi per quanto riguarda i limiti.
E' correto dire che $lim(x->0) lnx$ è infinito?
Non riesco a calcolare questi limiti:
a) $lim(x->0) ln(tanx)$
b) $lim(x->0) (lnx + (7x^2-2x+1)/(x^2-e^2))$
c) $lim (x->0) (tan(arcsenx)+tan(arccosx))
4) Ho un dubbio sul campo di esistenza di questa funzione $f(x)=tan(lnx)$
Scusate se ho postato qutte queste cose in un unico post ma come ho detto è solo per evitare di aprirne uno per ogni domanda! Grazie ancora....
1) Si tratta di numeri complessi in forma trigonometrica
a) $(1+i)/((sqrt3)+i)^3
Devo calcolarne le radici cubiche utilizzando il numero in forma trigonometrica
2) Altri dubbi li ho sulla topologia degli insiemi
a) Se ho questo intervallo $E=[-n/4+2kn,(3n)/4+2kn[ k in Z$ (la n sta per pigreco)
I punti di frontiera sono entrambi gli estremi?
L'insieme è limitato o illimitato?
Quale è la sua parte interna e la sua chiusura?
Quali dei due estremi è punto di accumulazione?
Qual è il suo complementare?
L'insieme è un aperto o un chiuso?
3) Poi per quanto riguarda i limiti.
E' correto dire che $lim(x->0) lnx$ è infinito?
Non riesco a calcolare questi limiti:
a) $lim(x->0) ln(tanx)$
b) $lim(x->0) (lnx + (7x^2-2x+1)/(x^2-e^2))$
c) $lim (x->0) (tan(arcsenx)+tan(arccosx))
4) Ho un dubbio sul campo di esistenza di questa funzione $f(x)=tan(lnx)$
Scusate se ho postato qutte queste cose in un unico post ma come ho detto è solo per evitare di aprirne uno per ogni domanda! Grazie ancora....
Risposte
Ti rispondo anche se pure io sono studente come te di analisi I quindi ancora alle "prime armi".
Nell'esercizio 1 ho paura di dire sciocchezze.
L'esercizio 2 ho molti dubbi ma considerando che il k può assumere infiniti valori, l'insieme dovrebbe essere illimitato anche se aperto a destra e chiuso a sinistra periodicamente.
3) Per i limiti ho più certezze..
lnx per x che tende a zero è meno infinito (ricorda la curva logaritmica)
a) La tangente a zero è zero quindi limite di ln0 = sempre meno infinito
b) lnx ancora una volta meno infinito che sommato a -1/e^2 fa sempre meno infinito
c) L'arco che ha per seno 0 è kpigreco e la tangente a kpigreco è zero. L'arco che ha per coseno 0 è pigreco/2+kpigreco e in questo caso la cosa cambia se prendiamo lo zero da destra o da sinistra perchè si ottiene rispettivamente più infinito o meno infinito.
4) Il logaritmo esiste solo per valori strettamente maggiori di zero quindi x>0;
La tangente vale sempre tranne per pigreco/2+kpigreco
Unendoli il dominio diventa x>0 - {pigreco/2+kpigreco}
Spero di essere stato d'aiuto e di non avere fatto errori.
Nell'esercizio 1 ho paura di dire sciocchezze.
L'esercizio 2 ho molti dubbi ma considerando che il k può assumere infiniti valori, l'insieme dovrebbe essere illimitato anche se aperto a destra e chiuso a sinistra periodicamente.
3) Per i limiti ho più certezze..
lnx per x che tende a zero è meno infinito (ricorda la curva logaritmica)
a) La tangente a zero è zero quindi limite di ln0 = sempre meno infinito
b) lnx ancora una volta meno infinito che sommato a -1/e^2 fa sempre meno infinito
c) L'arco che ha per seno 0 è kpigreco e la tangente a kpigreco è zero. L'arco che ha per coseno 0 è pigreco/2+kpigreco e in questo caso la cosa cambia se prendiamo lo zero da destra o da sinistra perchè si ottiene rispettivamente più infinito o meno infinito.
4) Il logaritmo esiste solo per valori strettamente maggiori di zero quindi x>0;
La tangente vale sempre tranne per pigreco/2+kpigreco
Unendoli il dominio diventa x>0 - {pigreco/2+kpigreco}
Spero di essere stato d'aiuto e di non avere fatto errori.
3) si, tende a meno infinito, dire che tende a infinito senza segno dipende un po' da quali convenzioni hai accettato
3a) il teorema della composta lo puoi applicare perchè 0 non appartiene al dominio di ln per cui è verificata una delle due ipotesi
3b) basta "sostituire" lo zero
4) il dominio di un composta non è il dominio di quella più interna? cioè della prima che agisce?
3a) il teorema della composta lo puoi applicare perchè 0 non appartiene al dominio di ln per cui è verificata una delle due ipotesi
3b) basta "sostituire" lo zero
4) il dominio di un composta non è il dominio di quella più interna? cioè della prima che agisce?
Per il primo esercizio, ti consiglierei di fare i calcoli per trovarti quel numero a cosa equivale in forma trigonometrica e di passare solo poi al calcolo delle radici cubiche.
( $\pi$ si scrive \ pi
)
Il secondo esercizio: $E = { [ -\pi/4 + 2k\pi, \quad 3/4\pi + 2k\pi [ $ $| k \in ZZ }
1) L'insieme è illimitato, al variare di k superi qualsiasi reale sia positivo che negativo.
2) La sua parte interna è $E - {-\pi/4 + 2k\pi}$, la sua chiusura è $3/4\pi + 2k\pi$.
3) I due estremi di ogni intervallo dovrebbero essere entrambi punti di accumulazione, intorno ad ognuno comunque vicino trovi sempre un punto dell'insieme.
4) Il complementare è $E = { [ 3/4\pi + 2k\pi, \quad 7/4\pi + 2k\pi [$ $| k \in ZZ }$ che, proprio come l'insieme di partenza, non mi sembra nè aperto nè chiuso (non contiene tutti i suoi punti di accumulazione (estremo destro dell'intervallo) e non tutti i suoi punti sono aperti (estremo sinistro dell'intervallo)).
( $\pi$ si scrive \ pi
)Il secondo esercizio: $E = { [ -\pi/4 + 2k\pi, \quad 3/4\pi + 2k\pi [ $ $| k \in ZZ }
1) L'insieme è illimitato, al variare di k superi qualsiasi reale sia positivo che negativo.
2) La sua parte interna è $E - {-\pi/4 + 2k\pi}$, la sua chiusura è $3/4\pi + 2k\pi$.
3) I due estremi di ogni intervallo dovrebbero essere entrambi punti di accumulazione, intorno ad ognuno comunque vicino trovi sempre un punto dell'insieme.
4) Il complementare è $E = { [ 3/4\pi + 2k\pi, \quad 7/4\pi + 2k\pi [$ $| k \in ZZ }$ che, proprio come l'insieme di partenza, non mi sembra nè aperto nè chiuso (non contiene tutti i suoi punti di accumulazione (estremo destro dell'intervallo) e non tutti i suoi punti sono aperti (estremo sinistro dell'intervallo)).
@Nato_Pigro: No in generale devi vedere il campo di esistenza di ogni funzione.
Il campo di esistenza, per esempio, di $sqrt(f(x))$ non è solo quello di $f(x)$ ma devi anche porre $f(x) >= 0$ per il campo di esistenza della radice.
Il campo di esistenza, per esempio, di $sqrt(f(x))$ non è solo quello di $f(x)$ ma devi anche porre $f(x) >= 0$ per il campo di esistenza della radice.
"nato_pigro":
3) si, tende a meno infinito, dire che tende a infinito senza segno dipende un po' da quali convenzioni hai accettato
3a) il teorema della composta lo puoi applicare perchè 0 non appartiene al dominio di ln per cui è verificata una delle due ipotesi
3b) basta "sostituire" lo zero
4) il dominio di un composta non è il dominio di quella più interna? cioè della prima che agisce?
A nato_pigro:
3) tende sempre a meno infinito in ogni caso e dire solo infinito è sbagliato
3a) che vuoi dire?
4) No altrimenti faresti un errore. Devi considerare anche il dominio delle funzioni interne come avevo già scritto
Dopo quello che mi avete detto provo a rifare questi esercizi e vi faccio sapere! comunque ho le idee più chiare. a Dopo
".Dev.":
[quote="nato_pigro"]3) si, tende a meno infinito, dire che tende a infinito senza segno dipende un po' da quali convenzioni hai accettato
3a) il teorema della composta lo puoi applicare perchè 0 non appartiene al dominio di ln per cui è verificata una delle due ipotesi
3b) basta "sostituire" lo zero
4) il dominio di un composta non è il dominio di quella più interna? cioè della prima che agisce?
A nato_pigro:
3) tende sempre a meno infinito in ogni caso e dire solo infinito è sbagliato
3a) che vuoi dire?
4) No altrimenti faresti un errore. Devi considerare anche il dominio delle funzioni interne come avevo già scritto[/quote]
si, nel 4) ho detto un fregnaccia
per il 3a) se le funzioni non sono continue ma le prendi in generale il teorema della composta vale sotto certe ipotesi...
Allora sono riuscita a fare questi esercizi! Per questi altri limiti potete darmi dei suggerimenti?
1) $lim_(x->oo )(((x^2-1)/(x^2+1))^(x^2))$
2) $lim_(x->0 )(tan(lnx))$
3) $lim_(x->0 )((1+x^2)^(cot^2x))$
4) $lim_(x->(pi/2)^-)(tan(arcsenx)+tan(arccosx))$
1) $lim_(x->oo )(((x^2-1)/(x^2+1))^(x^2))$
2) $lim_(x->0 )(tan(lnx))$
3) $lim_(x->0 )((1+x^2)^(cot^2x))$
4) $lim_(x->(pi/2)^-)(tan(arcsenx)+tan(arccosx))$
Il primo si risolve come al solito per i limiti di quel tipo:
$e^(x^2*ln((x^2-1)/(x^2+1)))$
$e^(x^2*ln((x^2-1)/(x^2+1)))$
Per il primo e il terzo prova a farti tornare il limite notevole $lim_(x->\infty)(1 + 1/x)^x = e$
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