Problemi serie di funzioni

[Aeon1]

Dunque:
Ho un po' di confusione in testa sul modo per stabilire o no se una serie di funzioni converge nei vari modi.
Cosa sbaglio?

Convergenza Normale
Studio il sup(f(x) per x appartenente all'intervallo che considero. Quindi o trovo il max oppure maggioro con una serie numerica e applico il principio di Weierstrass.


Convergenza assoluta
Vabè studio la convergenza ponendo la serie "in valore assoluto"

Convergenza Puntuale
Studio la funziona f(x) capendo poi per quali valori di x ci sono problemi

Convergenza Uniforme

Qui non ho capito molto, il libro scrive:
$lim n ||Sn - S|| $ cosa significa?

Grazie

[gugo82]

"Aeon":Dunque:
Ho un po' di confusione in testa sul modo per stabilire o no se una serie di funzioni converge nei vari modi.
Cosa sbaglio?

Cominciamo col chiarire un po' le basi per quanto riguarda le serie reali (potendi generalizzare quasi tutto quello che dirò ad altri campi).

Una serie di funzioni è un oggetto del tipo $\sum_n f_n$, ove le $f_n$ sono tutte funzioni reali definite in un insieme $A subseteq RR$ non vuoto.
Nel caso in cui, per qualche $x in A$, esista finito il limite $lim_(k to +oo)\sum_(n=0)^k f_n(x)$, si dice che la serie $\sum_n f_n$ converge in $x$; raccolti in un insieme $B$ tutti gli eventuali $x$ in cui la serie converga, l'insieme $B$ si chiama insieme di convergenza puntuale di $\sum_n f_n$; la funzione $f:Bto RR$ che associa $AAx in b, f(x)=\sum_(n=0)^(+oo)f_n(x)=lim_(k to +oo)\sum_(n=0)^k f_n(x)$ si chiama somma (puntuale) di $\sum_nf_n$.

Premesso ciò, vediamo di capirci per quanto riguarda i vari tipi di convergenza.

"Aeon":Convergenza Puntuale
Studio la funziona f(x) capendo poi per quali valori di x ci sono problemi

Il primo e più debole concetto di convergenza.
Si tratta di stabilire per quali $x in A$ la serie di numeri reali $\sum_nf_n(x)$ sia convergente: in tal caso si dice che $\sum_nf_n$ converge puntualmente in $x$. Se esiste qualche $x in A$ in cui la serie converge, l'insieme di convergenza puntuale $B$ (definito prima) è non vuoto.

"Aeon":
Convergenza assoluta
Vabè studio la convergenza ponendo la serie "in valore assoluto"

Si dice che la serie $\sum_nf_n$ converge assolutamente in $x in A$ se e solo se è convergente la serie di numeri reali non negativi $\sum_n|f_n(x)|$.
Poichè la convergenza assoluta della serie numerica $\sum_nf_(x)$ implica la convergenza semplice, l'insieme di convergenza assoluta è contenuto (certe volte strettamente) nell'insieme $B$ di convergenza puntuale.

"Aeon":Convergenza Uniforme

Qui non ho capito molto, il libro scrive:
$lim n ||Sn - S|| $ cosa significa?

Si dice che la $\sum_nf_n$ converge uniformemente in $A$ verso una funzione $g:Ato RR$ quando è infinitesima la successione di numeri reali non negativi di termine generale $a_k="sup"_(x inA) |\sum_(n=0)^k f_n(x)-g(x)|$: per la definizione di limite ciò vuol dire che:

$AAepsilon >0,exists nu in NN:quad AA k>nu, "sup"_(x inA) |\sum_(n=0)^k f_n(x)-g(x)|
in tale caso $g$ viene detta somma (uniforme) di $\sum_nf_n$ in $A$.

La convergenza uniforme in $A$ implica la convergenza puntuale in tutti i punti di $A$ ed implica che il limite puntuale $f$ di $\sum_nf_n$ in $A$ è uguale al limite uniforme $g$.

"Aeon":Convergenza Normale
Studio il sup(f(x) per x appartenente all'intervallo che considero. Quindi o trovo il max oppure maggioro con una serie numerica e applico il principio di Weierstrass.

Suppongo che con l'aggettivo normale tu non intenda "in norma", ma ti riferisca a quella che di solito viene detta convergenza totale.
Se questo è il caso, chiarisco subito il concetto: si dice che la serie $\sum_nf_n$ converge totalmente in $A$ se è convergente la serie di numeri reali non negativi $\sum_n "sup"_(x in A)|f_n(x)|$.
Questo è il tipo di convergenza più forte, poichè implica la convergenza assoluta ed uniforme della serie $\sum_n f_n$.

Si preferisce usare l'aggettivo totale per questo tipo di convergenza perchè "convergenza normale" può essere confuso con "convergenza in norma": quest'ultimo concetto di convergenza può essere definito mettendo su un assegnato insieme di funzioni una norma (ad esempio la norma $L^p$, come vedrai in Analisi Funzionale se mai seguirai un corso del genere )

Spero di esserti stato d'aiuto.
Buono studio.