PROBLEMI PRINCIPIO D'INDUZIONE

[icaf]

Ho due esercizi su cui vorrei avere il vostro aiuto.
Sono esercizi da risolvere con il principio d'induzione.

PRIMO ESERCIZIO
2^n≥5n ∀n∈ N n≥5
1) primo passo n=5 2^5>=25 è vero
2) n>=5 e 2^n≥5n → 2^(n+1) =2^n(2)>= 5n(2)=2^(n+1)=2^(n+1)>=10n
Secondo voi è giusto il procedimento???

SECONDO ESERCIZIO
è la foto che ho allegato ma non riesco a dimostrare il passo d'induzione... come si deve fare???

Grazie mille!!

[Studente Anonimo]

Dunque, vogliamo dimostrare che
per ogni

[math]n\ge 5[/math]

vale

[math]2^n \ge 5n\\[/math]

.

Base dell'induzione:
La disuguaglianza è sicuramente vera per

[math]\small n=5[/math]

, in quanto è vero che

[math]\small 32 \ge 25\\[/math]

.

Passo induttivo:
Supponiamo che la disuguaglianza sia vera
per

[math]\small n[/math]

e dimostriamo che allora è vera anche
per

[math]n+1[/math]

. In effetti vale

[math]2^{n+1} = 2\cdot 2^n \ge 2\cdot 5n \ge 5(n+1)[/math]

,
dove la prima disuguaglianza discende
dall'ipotesi di induzione, mentre per quanto
riguarda la seconda è sufficiente sviluppare
i conti per mostrare che è vera per

[math]n \ge 5[/math]

.

[math]\square\\[/math]

Fin qua ci siamo? :)

[icaf]

ok perfetto!!

[Studente Anonimo]

Bene, allora passiamo al secondo.
Ora vogliamo dimostrare che per ogni

[math]n\in\mathbb{N}[/math]

vale

[math]\begin{aligned}\sum_{k=1}^{n}(2k - 1)=n^2\end{aligned}\\[/math]

.

Base dell'induzione:
L'uguaglianza è vera per

[math]n=1[/math]

, in quanto è vero che

[math]2\cdot 1-1 = 1^2\\[/math]

.

Passo induttivo:
Supponiamo che l'uguaglianza sia vera per

[math]\small n[/math]

e dimostriamo
che allora è vera anche per

[math]n+1[/math]

. In effetti si ottiene:

[math]\small \begin{aligned}\sum_{k=1}^{n+1}(2k - 1) = \sum_{k=1}^{n}(2k - 1) + (2n + 1) = n^2 + (2n + 1) = (n + 1)^2\end{aligned}\,\square\\[/math]

Ok? :)