Problemi nell'applicare una definizione (causalità)
Buongiorno. Studiando teoria dei segnali, mi trovo davanti alla definizione seguente:
Un sistema è causale se $y(t)=T[x(\tau);t]=T[x(\tau)u(t-\tau);t]$ dove $u(t)$ è il segnale gradino.
Provando a studiare un semplicissimo segnale come $y(t)=x(t+t_0)$ (che si vede a occhio esser causale), non riesco ad arrivarci tramite definizione.. Posto i passaggi:
In pratica perché i due funzionali siano uguali deve essere: $x(\tau+t_0) = x(\tau+t_0)u(t-\tau-t_0)$ e quindi da quel che mi sembra queste sono uguali sse $t>\tau + t_0$ ovvero quando il gradino vale $1$... Quindi non sembrerebbe causale..
Grazie anticipatamente!
Un sistema è causale se $y(t)=T[x(\tau);t]=T[x(\tau)u(t-\tau);t]$ dove $u(t)$ è il segnale gradino.
Provando a studiare un semplicissimo segnale come $y(t)=x(t+t_0)$ (che si vede a occhio esser causale), non riesco ad arrivarci tramite definizione.. Posto i passaggi:
In pratica perché i due funzionali siano uguali deve essere: $x(\tau+t_0) = x(\tau+t_0)u(t-\tau-t_0)$ e quindi da quel che mi sembra queste sono uguali sse $t>\tau + t_0$ ovvero quando il gradino vale $1$... Quindi non sembrerebbe causale..
Grazie anticipatamente!
Risposte
Perché trasli anche il gradino?
Per la definizione... sempre che non io non sbagli nell'applicarla... 
Ah, ok, avevo interpretato male la definizione.
Insomma, tu dici che un sistema $y(t) = T[x](t)$, in cui $T$ è un qualche operatore, è causale se risulta $AA t>0,\ T[x](t) = T[x (1 - text(u)_t)](t)$, in cui $1-text(u)_t(tau) = 1-text(u)(tau - t) = \{ (1, text(, se ) tau <= t), (0, text(, se ) tau > t) :} = text(u) ( t - tau)$ è il gradino unitario ribaltato e centrato in $t$.
Questo, fisicamente, significa che il valore di $T[x]$ all’istante $t$, e dunque l’uscita $y$ all’istante $t$, dipende unicamente dai valori assunti dall’ingresso $x(tau)$ negli istanti $tau$ non successivi $t$ (cioè $tau <= t$).
Va bene.
Prendiamo l’operatore di traslazione $T[x](t) := x(t + t_0)$, in cui immagino sia $t_0 >0$.
Il sistema $y(t) = x(t + t_0)$ ti fa determinare il valore dell’uscita $y$ in $t$ conoscendo il valore dell’ingresso $x$ nell’istante $tau = t + t_0 > t$… Quindi, come fa ad essere causale?
Insomma, tu dici che un sistema $y(t) = T[x](t)$, in cui $T$ è un qualche operatore, è causale se risulta $AA t>0,\ T[x](t) = T[x (1 - text(u)_t)](t)$, in cui $1-text(u)_t(tau) = 1-text(u)(tau - t) = \{ (1, text(, se ) tau <= t), (0, text(, se ) tau > t) :} = text(u) ( t - tau)$ è il gradino unitario ribaltato e centrato in $t$.
Questo, fisicamente, significa che il valore di $T[x]$ all’istante $t$, e dunque l’uscita $y$ all’istante $t$, dipende unicamente dai valori assunti dall’ingresso $x(tau)$ negli istanti $tau$ non successivi $t$ (cioè $tau <= t$).
Va bene.
Prendiamo l’operatore di traslazione $T[x](t) := x(t + t_0)$, in cui immagino sia $t_0 >0$.
Il sistema $y(t) = x(t + t_0)$ ti fa determinare il valore dell’uscita $y$ in $t$ conoscendo il valore dell’ingresso $x$ nell’istante $tau = t + t_0 > t$… Quindi, come fa ad essere causale?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo