Problemi limiti forme indeterminate non elementari
\(\displaystyle \)
Sono uno studente di ingegneria informatica..
Ho avuto alcune difficoltà con la risoluzione di questi limiti...
1) $\lim_{x \to \infty}(e^x*x^100)/pi^x$
calcolato con qualsiasi calcolatore alettroico mi da come risoltato zero e si conclude che il numeratore è o piccolo del denominatore e questo risultato vale per qualsiasi esponente della funzione potenza che è fattore del numeratore. In pratica a quanto ho capito si considera come se non ci fosse..perche comunque x^n è o piccolo di e^x..non saprei :/
2) $\lim_{x \to \infty}(4x-1)*sin(1/x)/sinx$
di questo ho capito solo che sinx al denominatore oscilla sempre e fa cambiare continuamente di segno il limite..4x-1 va a infinito...quindi sarebbe un infinito che cambia sempre di segno per sin(1/x) che è zero..quindi in teoria sarebbe una forma indeterminata 0*oo..buh! Il risultato mi dice che il limite non esiste..a questo punto suppongo perchè parte della funzine è oscillante!
Spero in un vostro aiuto, mi scuso per non aver scritto tutto con i simboli corretti ma non sono ancora molto pratico!
Sono uno studente di ingegneria informatica..
Ho avuto alcune difficoltà con la risoluzione di questi limiti...
1) $\lim_{x \to \infty}(e^x*x^100)/pi^x$
calcolato con qualsiasi calcolatore alettroico mi da come risoltato zero e si conclude che il numeratore è o piccolo del denominatore e questo risultato vale per qualsiasi esponente della funzione potenza che è fattore del numeratore. In pratica a quanto ho capito si considera come se non ci fosse..perche comunque x^n è o piccolo di e^x..non saprei :/
2) $\lim_{x \to \infty}(4x-1)*sin(1/x)/sinx$
di questo ho capito solo che sinx al denominatore oscilla sempre e fa cambiare continuamente di segno il limite..4x-1 va a infinito...quindi sarebbe un infinito che cambia sempre di segno per sin(1/x) che è zero..quindi in teoria sarebbe una forma indeterminata 0*oo..buh! Il risultato mi dice che il limite non esiste..a questo punto suppongo perchè parte della funzine è oscillante!
Spero in un vostro aiuto, mi scuso per non aver scritto tutto con i simboli corretti ma non sono ancora molto pratico!
Risposte
ciao 
premessa. è utile, nel calcolo di un limite, fare una "scaletta mentale": anzitutto controllo se è o meno una forma indeterminata. Vedo se si può snellire con altre funzioni asintotiche nell'intorno considerato nel lim. Controllo, nel caso sia una forma indeterminata, se è del tipo tale da permettermi di applicare de L'Hopital. Se è un intorno di infiniti escludo la possibilità di usare sviluppi di Taylor... e cosi via (ho omesso moltissime cose, era solo per farsi un'idea).
detto ciò,i limiti che hai proposto sono molto "educativi", preferisco perciò dare solo degli spunti..
① ragionamento errato. nota che $ \pi^x$ e $e^x$ sono f molto "simili": per la gerarchia degli infiniti, è intuitivo pensare che, in un intorno di $+oo$, vadano, per cosi dire, a "pareggiarsi" (spero non mi prendano, metaforicamente, per le orecchie per il mio linguaggio poco consono)... resta dunque $ x^100$ che, in un intorno di $+oo$ esplode a $+oo$.
perchè è errato pensarla cosi? perchè non è affatto vero che le due funzioni (al numeratore e al denominatore) si comportano similmente in un intorno di $+oo$!
inoltre la gerarchia degli infiniti non si adopera in questi casi (la funzione al numeratore è prodotto di due funzioni!)
② qui non ti dico praticamente nulla. Però faccio un'osservazione sul risultato: il lim di questa funzione non è definito. Tale risultato si può interpretare, intuitivamente, pensando che il "sinx" a denominatore oscilla tra $-1$ e $1$ per $x->+oo$... quindi il valore del lim non è definito univocamente (il sinx a denominatore fa cambiare il segno).
premessa. è utile, nel calcolo di un limite, fare una "scaletta mentale": anzitutto controllo se è o meno una forma indeterminata. Vedo se si può snellire con altre funzioni asintotiche nell'intorno considerato nel lim. Controllo, nel caso sia una forma indeterminata, se è del tipo tale da permettermi di applicare de L'Hopital. Se è un intorno di infiniti escludo la possibilità di usare sviluppi di Taylor... e cosi via (ho omesso moltissime cose, era solo per farsi un'idea).
detto ciò,i limiti che hai proposto sono molto "educativi", preferisco perciò dare solo degli spunti..
① ragionamento errato. nota che $ \pi^x$ e $e^x$ sono f molto "simili": per la gerarchia degli infiniti, è intuitivo pensare che, in un intorno di $+oo$, vadano, per cosi dire, a "pareggiarsi" (spero non mi prendano, metaforicamente, per le orecchie per il mio linguaggio poco consono)... resta dunque $ x^100$ che, in un intorno di $+oo$ esplode a $+oo$.
perchè è errato pensarla cosi? perchè non è affatto vero che le due funzioni (al numeratore e al denominatore) si comportano similmente in un intorno di $+oo$!
inoltre la gerarchia degli infiniti non si adopera in questi casi (la funzione al numeratore è prodotto di due funzioni!)
② qui non ti dico praticamente nulla. Però faccio un'osservazione sul risultato: il lim di questa funzione non è definito. Tale risultato si può interpretare, intuitivamente, pensando che il "sinx" a denominatore oscilla tra $-1$ e $1$ per $x->+oo$... quindi il valore del lim non è definito univocamente (il sinx a denominatore fa cambiare il segno).
Salvo, analizziamo insieme i due limiti che devi risolvere:
Supponiamo che tu, con $\infty$, intenda $+\infty$. Allora, si ha che $x^100 = o(e^x)$, perchè $lim_{x \to +\infty} x^100/e^x = 0$. [size=85]Ciò vuol dire che, per il principio di eliminazione dei termini trascurabili, si ha $ \lim_{x \to +\infty}(e^x*x^100)/pi^x = lim_{x \to +\infty}(e/pi)^x $. Da tale espressione del limite, è evidente che la funzione tende a 0, giacchè $pi$ è maggiore di $e$.[/size]
Ora, visto che tu hai espresso dei dubbi circa la relazione $x^n = o(e^x)$ per $x \to +\infty$, te ne dimostro la veridicità: prendiamo il limite $lim_{x \to +\infty} x^n/e^x$. Le due funzioni $f(x) = x^n$ e $g(x)=e^x$ sono continue e derivabili in tutto il loro dominio, e si ha $g(x) != 0 \forall x \in R$, per cui si può applicare il teorema di De L'Hôpital:
$lim_{x \to +\infty} x^n/e^x = lim_{x \to +\infty} (nx^(n-1))/e^x$
Per il nuovo limite ottenuto, valgono le considerazioni già viste sopra, e dunque il teorema può essere nuovamente applicato:
$lim_{x \to +\infty} (nx^(n-1))/e^x = lim_{x \to +\infty} (n*(n-1)x^(n-2))/e^x$
E il teorema può essere applicato ancora ed ancora, fino ad arrivare alla relazione:
$lim_{x \to +\infty} (n*(n-1)*(n-2)*...*3*2x)/e^x = lim_{x \to +\infty} (n*(n-1)*(n-2)*...*3*2*1)/e^x = lim_{x \to +\infty} (n!)/e^x$
Tale limite, essendo il rapporto tra una quantità finita (per quanto grande) ed una che tende all'infinito, tenderà ovviamente a 0, come volevasi dimostrare.
Questa funzione è oscillante, e dunque non ammette limite. Per completezza, eccoti il suo grafico:
[size=150]
EDIT: come mi è stato fatto notare, parte del ragionamento svolto per la risoluzione del primo limite è impropria. A beneficio del richiedente, evidenzio che qualche post più in basso ho spiegato cosa intendevo scrivere.[/size]
"salvobellino95":
1) $ \lim_{x \to \infty}(e^x*x^100)/pi^x $
Supponiamo che tu, con $\infty$, intenda $+\infty$. Allora, si ha che $x^100 = o(e^x)$, perchè $lim_{x \to +\infty} x^100/e^x = 0$. [size=85]Ciò vuol dire che, per il principio di eliminazione dei termini trascurabili, si ha $ \lim_{x \to +\infty}(e^x*x^100)/pi^x = lim_{x \to +\infty}(e/pi)^x $. Da tale espressione del limite, è evidente che la funzione tende a 0, giacchè $pi$ è maggiore di $e$.[/size]
Ora, visto che tu hai espresso dei dubbi circa la relazione $x^n = o(e^x)$ per $x \to +\infty$, te ne dimostro la veridicità: prendiamo il limite $lim_{x \to +\infty} x^n/e^x$. Le due funzioni $f(x) = x^n$ e $g(x)=e^x$ sono continue e derivabili in tutto il loro dominio, e si ha $g(x) != 0 \forall x \in R$, per cui si può applicare il teorema di De L'Hôpital:
$lim_{x \to +\infty} x^n/e^x = lim_{x \to +\infty} (nx^(n-1))/e^x$
Per il nuovo limite ottenuto, valgono le considerazioni già viste sopra, e dunque il teorema può essere nuovamente applicato:
$lim_{x \to +\infty} (nx^(n-1))/e^x = lim_{x \to +\infty} (n*(n-1)x^(n-2))/e^x$
E il teorema può essere applicato ancora ed ancora, fino ad arrivare alla relazione:
$lim_{x \to +\infty} (n*(n-1)*(n-2)*...*3*2x)/e^x = lim_{x \to +\infty} (n*(n-1)*(n-2)*...*3*2*1)/e^x = lim_{x \to +\infty} (n!)/e^x$
Tale limite, essendo il rapporto tra una quantità finita (per quanto grande) ed una che tende all'infinito, tenderà ovviamente a 0, come volevasi dimostrare.
"salvobellino95":
2) $ \lim_{x \to \infty}(4x-1)*sin(1/x)/sinx $
Questa funzione è oscillante, e dunque non ammette limite. Per completezza, eccoti il suo grafico:
[size=150]
EDIT: come mi è stato fatto notare, parte del ragionamento svolto per la risoluzione del primo limite è impropria. A beneficio del richiedente, evidenzio che qualche post più in basso ho spiegato cosa intendevo scrivere.[/size]
Scusa wrugg25 il limite $lim_(x->+oo)(e^x)/(x^100)=0$? Non mi sembra.
"anonymous_c5d2a1":
Scusa wrugg25 il limite $lim_(x->+oo)(e^x)/(x^100)=0$? Non mi sembra.
Mi permetto di farti notare che la tua precisazione è solo un'inutile pedanteria, giacchè il seguito del mio discorso fa ben capire che intendevo scrivere $lim_(x->+oo)(x^100)/e^x=0$ (l'ho pure dimostrato!), e che dunque ho solo commesso un errore di scrittura - fatto evidenziato, se proprio non hai voglia di leggere tutta la mia dissertazione, dalla scrittura $x^100 = o(e^x)$ per $x \to +\infty$, che ho premesso all'espressione del limite.
"wrugg25":
... Ciò vuol dire che, per il principio di eliminazione dei termini trascurabili, ...
Scusami ma ho dei dubbi su questo ... abbiamo un prodotto non una somma, perché dovremmo trascurarlo?
Io la vedrei così ... $lim_(x->infty) (e^x*x^100)/pi^x\ =\ lim_(x->infty) x^100/(pi^x/e^x)\ =\ lim_(x->infty) x^100/(pi/e)^x$ e quindi per la gerarchia degli infiniti il limite è zero.
Oppure usando De L'Hopital in questo modo ... $lim_(x->infty) x^100/(pi/e)^x$ è una forma indeterminata $infty/infty$, perciò applicando la regola otteniamo $lim_(x->infty) (100x^99)/[(pi/e)^x*ln(pi/e)]=lim_(x->infty) C_1x^(100-1)/[(pi/e)^x]$ e più in generale continuando la derivazione $lim_(x->infty) C_nx^(100-n)/[(pi/e)^x]$; alla centounesima derivazione avremo $lim_(x->infty) C_(101)0/[(pi/e)^x]=0$
Cordialmente, Alex
"axpgn":
Scusami ma ho dei dubbi su questo ... abbiamo un prodotto non una somma, perché dovremmo trascurarlo?
Hai ragione, lì ho commesso un errore: ciò che volevo scrivere è che, dato il limite scritto come $lim_{x \to +\infty} (e^x*o(e^x))/pi^x$, essendo anche $e < pi$, si ha $lim_{x \to +\infty} (e^x*o(e^x))/pi^x = lim_{x \to +\infty} (o(pi^x)*o(e^x))/pi^x = lim_{x \to +\infty} (o(pi^x)*o(pi^x))/pi^x = lim_{x \to +\infty} (o(pi^x))/pi^x = 0$... ma cercando di scrivere questo ragionamento in modo da evidenziare l'espressione $x^n = o(e^x)$, ho finito per scrivere ciò che hai evidenziato (che, come puoi notare, non c'entra assolutamente con ciò che avevo in mente)
Probabilmente mi ha confuso il cercare di dare un'impostazione rigorosa ad un ragionamento che, a mio avviso, è in verità alquanto verboso e poco pratico (quel limite, per conto mio, l'avrei risolto con il teorema di De L'Hôpital... ma visto che il richiedente aveva ragionato con i simboli di Landau, ho cercato di seguire il suo percorso).
Sei incommentabile! Lo hai modificato solo dopo che ti ho tranquillamente corretto. Quindi caro utente ti potevi accorgere prima evitando di creare dubbi anche ad altri utenti. In merito a quella che tu definisci pedanteria toglitelo dalla testa. Ho solo detto che non era corretto quel limite. Mamma mia questi utenti.
Premetto che non ho letto in dettaglio tutti gli interventi precedenti, ma ho avuto l'impressione che sia stata fatta un po' di confusione.
Posto \(a = \pi / e > 1\), il limite si riscrive come
\[
\lim_{x\to+\infty} \frac{x^{100}}{a^x}\,.
\]
Come penso ti sia noto, per \(x\to +\infty\) la funzione \(a^x\) (con \(a > 1\)) diverge a \(+\infty\) più rapidamente di qualsiasi potenza della \(x\), dunque il limite 1) vale \(0\).
In questo caso il limite non esiste; per dimostrarlo in modo rigoroso, puoi considerare due successioni \(x_k, y_k\to+\infty\) tali che \(\lim_k f(x_k)\) sia diverso da \(\lim_k f(y_k)\).
Una possibilità è scegliere \(x_k = \pi/2 + 2k\pi\) e \(y_k = -\pi/2 + 2k\pi\), \(k\in\mathbb{N}\), in maniera tale che \(\sin x_k = 1\) e \(\sin y_k = -1\) per ogni \(k\).
Puoi verificare abbastanza facilmente che \(\lim_k f(x_k) = 4\) mentre \(\lim_k f(y_k) = -4\), dunque il limite non esiste.
"salvobellino95":
1) $\lim_{x \to \infty}(e^x*x^100)/pi^x$
Posto \(a = \pi / e > 1\), il limite si riscrive come
\[
\lim_{x\to+\infty} \frac{x^{100}}{a^x}\,.
\]
Come penso ti sia noto, per \(x\to +\infty\) la funzione \(a^x\) (con \(a > 1\)) diverge a \(+\infty\) più rapidamente di qualsiasi potenza della \(x\), dunque il limite 1) vale \(0\).
"salvobellino95":
2) $\lim_{x \to \infty}(4x-1)*sin(1/x)/sinx$
In questo caso il limite non esiste; per dimostrarlo in modo rigoroso, puoi considerare due successioni \(x_k, y_k\to+\infty\) tali che \(\lim_k f(x_k)\) sia diverso da \(\lim_k f(y_k)\).
Una possibilità è scegliere \(x_k = \pi/2 + 2k\pi\) e \(y_k = -\pi/2 + 2k\pi\), \(k\in\mathbb{N}\), in maniera tale che \(\sin x_k = 1\) e \(\sin y_k = -1\) per ogni \(k\).
Puoi verificare abbastanza facilmente che \(\lim_k f(x_k) = 4\) mentre \(\lim_k f(y_k) = -4\), dunque il limite non esiste.
"anonymous_c5d2a1":
Sei incommentabile! Lo hai modificato solo dopo che ti ho tranquillamente corretto. Quindi caro utente ti potevi accorgere prima evitando di creare dubbi anche ad altri utenti. In merito a quella che tu definisci pedanteria toglitelo dalla testa. Ho solo detto che non era corretto quel limite. Mamma mia questi utenti.
Certo che l'ho corretto! Una volta che mi si fa notare (più o meno educatamente... si ricordi sempre che est modus in rebus) l'imprecisione, è chiaro che la correggo
Anzitutto ringrazio tutti gli utenti che hanno partecipato..
-wrugg25)) il principio di eliminazione dei termini trascurabili sul libro mi dice che posso trascurare all interno di fattori addendi trascutabili rispetto ad altri e non i fattori direttamente. Resto col dubbio
Per lo stesso motivo non capisco perchè scrivi o(pi^x)*o(pi^x)=o(pi^x) ..che deriva dal fatto che a numeratore c'era e^x*o(e^x) alla fine è come se applicassi il princio di eliminazione dei termini trascurabili a un fattore intero e questo non riesco a capire se è giusto o meno...cioè generalizzando se è vero che f(x)*o(f(x)) = f(x). Mi sembra poco probabile perchè intuitivamente se considero ad esempio 1+o(1) allora posso trascurare o(1) perchè è un numero piccolissimo rispetto a 1, mentre se considero il prodotto 1*o(1) è come se facessi 1*1/9999 che ovviamente è diverso da 1
-axpgn)) okey ti ringrazio, in questo modo è semplice e veloce.
-Rigel)) okey, tutto chiaro
-wrugg25)) il principio di eliminazione dei termini trascurabili sul libro mi dice che posso trascurare all interno di fattori addendi trascutabili rispetto ad altri e non i fattori direttamente. Resto col dubbio
Per lo stesso motivo non capisco perchè scrivi o(pi^x)*o(pi^x)=o(pi^x) ..che deriva dal fatto che a numeratore c'era e^x*o(e^x) alla fine è come se applicassi il princio di eliminazione dei termini trascurabili a un fattore intero e questo non riesco a capire se è giusto o meno...cioè generalizzando se è vero che f(x)*o(f(x)) = f(x). Mi sembra poco probabile perchè intuitivamente se considero ad esempio 1+o(1) allora posso trascurare o(1) perchè è un numero piccolissimo rispetto a 1, mentre se considero il prodotto 1*o(1) è come se facessi 1*1/9999 che ovviamente è diverso da 1
-axpgn)) okey ti ringrazio, in questo modo è semplice e veloce.
-Rigel)) okey, tutto chiaro
"salvobellino95":
... mentre se considero il prodotto 1*o(1) è come se facessi 1*1/9999 che ovviamente è diverso da 1...
Non proprio ... nel tuo limite, diversamente dall'esempio che fai, quell'$1$ non è una costante ma va all'infinito ... in definitiva abbiamo una situazione di questo tipo $0*infty$ ... mi sembra però che la spiegazione successiva di wrugg funzioni (per quel che ne capisco io ...
).Cordialmente, Alex
tutto chiaro alla prossima grazie a tutti
grazie a tutti
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