Problemi iniziale(es n2) e finale(es n1) integrale doppio
Dunque...stavo risolvendo un integrale doppio definto...questo è l'integrale ridotto a integrale singolo dopo aver derivato una prima volta:
$ 1
⌠
⎮ x ^3 + x^2
⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dx
⎮ x^2 - 9
⌡
0$
Integrando tutto e sostituendo ottengo:
$1 + 1/2 + 9/2·(LN|-8| - LN|-9|) + 3/2·(LN|- 2/4|) - LN(ABS|-1|)$
che da come risultato
$3/2 - 3·LN(27/16)$
il mio problema sta che io mi sono fermato al passaggio prima del risultato(che o poi trovato con derive ed è giusto)..
non capisco come (LN|-8| - LN|-9|) possa diventare -LN(9/8).....
che proprieta dei logaritmi usa? non dovrebbe venire LN(8/9)??
il secondo esercizio è questo:
dato il seguente esercizio:
Sia D una lamina piana avente forma di un triangolo di vertici A(0,0) B(1,0) e C(0,1). Supposta la densita $p=(y(x-2))/(x^2-5x+6)$
calcolare la massa...
come devo impostare l'integrale doppio? quale è il dominio degli integrali definiti che ottengo?perche?
grazie in anticipo a chi mi risponderà!
$ 1
⌠
⎮ x ^3 + x^2
⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dx
⎮ x^2 - 9
⌡
0$
Integrando tutto e sostituendo ottengo:
$1 + 1/2 + 9/2·(LN|-8| - LN|-9|) + 3/2·(LN|- 2/4|) - LN(ABS|-1|)$
che da come risultato
$3/2 - 3·LN(27/16)$
il mio problema sta che io mi sono fermato al passaggio prima del risultato(che o poi trovato con derive ed è giusto)..
non capisco come (LN|-8| - LN|-9|) possa diventare -LN(9/8).....
che proprieta dei logaritmi usa? non dovrebbe venire LN(8/9)??
il secondo esercizio è questo:
dato il seguente esercizio:
Sia D una lamina piana avente forma di un triangolo di vertici A(0,0) B(1,0) e C(0,1). Supposta la densita $p=(y(x-2))/(x^2-5x+6)$
calcolare la massa...
come devo impostare l'integrale doppio? quale è il dominio degli integrali definiti che ottengo?perche?
grazie in anticipo a chi mi risponderà!
Risposte
"mormar02":
Dunque...stavo risolvendo un integrale doppio definto...questo è l'integrale ridotto a integrale singolo dopo aver derivato una prima volta:
$ 1
⌠
⎮ x ^3 + x^2
⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dx
⎮ x^2 - 9
⌡
0$
Questa parte non la vedo...ha strani caratteri matriciali
"mormar02":
il mio problema sta che io mi sono fermato al passaggio prima del risultato(che o poi trovato con derive ed è giusto)..
non capisco come (LN|-8| - LN|-9|) possa diventare -LN(9/8).....
che proprieta dei logaritmi usa? non dovrebbe venire LN(8/9)??
$ln|-8|=ln8$
$ln|-9|=ln9$
$ln8-ln9<0$
Quindi
$ln|-8|-ln|-9|=ln(|-8|/|-9|)=ln(8/9)=ln((9/8)^(-1))=-ln(9/8)$
Quindi sono giusti tutti e 2 perchè sono la stessa cosa
"mormar02":
Sia D una lamina piana avente forma di un triangolo di vertici A(0,0) B(1,0) e C(0,1). Supposta la densita $rho=(y(x-2))/(x^2-5x+6)$
calcolare la massa...
come devo impostare l'integrale doppio? quale è il dominio degli integrali definiti che ottengo?perche?
Il tuo triangolo è la porzione di piano con $x$ appartenente all'intervallo $[0,1]$ delimitata inferiormente dall'asse delle ascisse ($y=0$) e superiormente dalla retta $y=-x+1$.
Per ottenere l'area faresti:
$int_0^1 (-x+1)dx=[x-x^2/2]_0^1=1-1/2-0+0=1/2$
che infatti è l'area del triangolo di base 1 ed altezza 1.
Per calcolare la massa la formula generale è:
$int_A rho(x)dA$
che in questo caso puoi scrivere:
$int_0^1 rho(x)*(1-x)dx=int_0^1 (y(x-2))/(x^2-5x+6)*(1-x)dx$
e te lo risolvi normalmente...
grazie mille...però una cosa...la formula per calcolare la massa non è:$ ∫∫ ρ(x,y)dxdy$ ?
Nei miei apunti ho trovato questa però non so come impostare l'integrale doppio..
Nei miei apunti ho trovato questa però non so come impostare l'integrale doppio..
Con un integrale singolo trovi l'area sottesa da una curva...quindi con un'integrale singolo trovi la massa di quell'area.
Con un integrale doppio trovi il volume sotteso da una suferficie...quindi con un doppio trovi la massa del volume.
I tuo caso si estende in sole 2 dimensioni, quindi ti basta l'integrale singolo. Il doppio lo usi per $z=f(x,y)$
Con un integrale doppio trovi il volume sotteso da una suferficie...quindi con un doppio trovi la massa del volume.
I tuo caso si estende in sole 2 dimensioni, quindi ti basta l'integrale singolo. Il doppio lo usi per $z=f(x,y)$
capito...di conseguenza ottengo il risultato in funzione di y...
è che nel libro di questi esercizi non ho i risultati e quindi pensavo di dover farei l'integrale doppio avendo visto solo quella formula li...
effettivamente col ragionamento che hai fatto te è tutto molto chiaro!!
grazie mille!
è che nel libro di questi esercizi non ho i risultati e quindi pensavo di dover farei l'integrale doppio avendo visto solo quella formula li...
effettivamente col ragionamento che hai fatto te è tutto molto chiaro!!
grazie mille!
E se la lamina fosse così?
$p=|(xy-3x)/(y^2-4)|$
e il dominio ristretto al triangolo di vertici A(0,0) B(1,0) C(0,1)
So che questo va fatto con l'integrale doppio perchè la lamina è comunque intesa nello spazio...
come sciolgo però il valore assoluto?
Avrei poi un altra domanda:
data la quadrica $z=(5/4)x^2-( (√3)/2)xy+(7/4)y^2$
la devo ridurre in forma canonica...
so che lo devo fare con autovalori e autovettori e svolgendo la matrice dove nella diagonale sommo -λ ottengo i seuenti valori di $λ: λ=0, λ=4, λ=8$
adesso ottengo tre casi...però da qui in avanti ho solo molta confuzione in testa...come fare?
$p=|(xy-3x)/(y^2-4)|$
e il dominio ristretto al triangolo di vertici A(0,0) B(1,0) C(0,1)
So che questo va fatto con l'integrale doppio perchè la lamina è comunque intesa nello spazio...
come sciolgo però il valore assoluto?
Avrei poi un altra domanda:
data la quadrica $z=(5/4)x^2-( (√3)/2)xy+(7/4)y^2$
la devo ridurre in forma canonica...
so che lo devo fare con autovalori e autovettori e svolgendo la matrice dove nella diagonale sommo -λ ottengo i seuenti valori di $λ: λ=0, λ=4, λ=8$
adesso ottengo tre casi...però da qui in avanti ho solo molta confuzione in testa...come fare?
"mormar02":
E se la lamina fosse così?
$p=|(xy-3x)/(y^2-4)|$
e il dominio ristretto al triangolo di vertici A(0,0) B(1,0) C(0,1)
So che questo va fatto con l'integrale doppio perchè la lamina è comunque intesa nello spazio...
come sciolgo però il valore assoluto?
Dovrebbe essere sufficiente fare così:
$int int_A |(x(y-3))/(y^2-4)|dxdy=int_0^1 (int_0^((1-x)) |(x(y-3))/(y^2-4)|dy)dx$
studiando il segno dell'argomento trovi che è positivo per
$x lt 4$
$0 lt x lt 3$
$x gt 4$
Quindi nel tuo campo ($0 lt x lt 1$) la densità risulta sempre positiva o nulla quindi puoi risolverlo semplicemente togliendo il valore assoluto.
Mi scuso per la risposta precedente in cui avevo risposto dandoti come risultato una densità in funzione di $y$ quando in realtà doveva essere definità come scalare...ma quì dovrebbe essere corretto.
"mormar02":
Avrei poi un altra domanda:
data la quadrica $z=(5/4)x^2-( (√3)/2)xy+(7/4)y^2$
la devo ridurre in forma canonica...
so che lo devo fare con autovalori e autovettori e svolgendo la matrice dove nella diagonale sommo -λ ottengo i seuenti valori di $λ: λ=0, λ=4, λ=8$
adesso ottengo tre casi...però da qui in avanti ho solo molta confuzione in testa...come fare?
Non so...non mi ricordo abbastanza...già "forma canonica" mi manda il crisi
"mormar02":
Avrei poi un altra domanda:
data la quadrica $z=(5/4)x^2-( (√3)/2)xy+(7/4)y^2$
la devo ridurre in forma canonica[...]come fare?
[mod="dissonance"]Apri una nuova discussione (possibilmente nella sezione appropriata, ovvero Geometria e algebra lineare). Evita di inserire più argomenti diversi nello stesso thread perché è un ottimo sistema per non capirci più nulla. Grazie.[/mod]
ti ringrazio...grazie mille..per laltro esercizio aprirò un nuovo post!!
Figurati, un piacere poter esser utile 
ciao ciao
ciao ciao
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