Problemi esercizi derivate parziali
Salve a tutti, ho dei problemi su alcuni esercizi sulle derivate parziali.
1) Sia v:$RR\rightarrowRR$ di classe $C^1$
Posto $ u(x,t)=v(x+2t)$
Calcolare $(delu)/(delt)$ e $(delu)/(delx)$
Ora
$(delu)/(delt)=(delu)/(delv)(delv)/(delt)$
$(delu)/(delx)=(delu)/(delv)(delv)/(delx)$
La mia domanda è come continuare da questo punto in poi
2)Sia v:$RR^2\rightarrowRR$ di classe $C^1$
Posto $ w(r,\theta)=u(rcos(\theta),rsin(\theta)), r>0 , 0<\theta<2\pi$
Calcolare $(delw)/(delr)$ e $(delw)/(del\theta)$
Anche qui arrivo allo stesso punto ma non so continuare
$(delw)/(delr)=(delw)/(delu)(delu)/(delr)$
$(delw)/(del\theta)=(delw)/(delu)(delu)/(del\theta)$
3)E qui comincian le dolenti note
Sia $f(x,y)=e^ycosx+3e^y-4$ verificare che per tutte le $x in RR $ l'equazione $f(x,y)=0$ ha un'unica soluzione $yinRR$ che chiamiamo $y=\phi(x)$.
Calcolare la derivata $\phi'$ in due modi
-Utilizzando l'espressione esplicita di $\phi$
-Derivando in rapporto a x la relazione $f(x,\phi(x))=0$
In questo qui non so proprio dove mettere le mani
Grazie in anticipo di tutto l'aiuto e i suggerimenti
1) Sia v:$RR\rightarrowRR$ di classe $C^1$
Posto $ u(x,t)=v(x+2t)$
Calcolare $(delu)/(delt)$ e $(delu)/(delx)$
Ora
$(delu)/(delt)=(delu)/(delv)(delv)/(delt)$
$(delu)/(delx)=(delu)/(delv)(delv)/(delx)$
La mia domanda è come continuare da questo punto in poi
2)Sia v:$RR^2\rightarrowRR$ di classe $C^1$
Posto $ w(r,\theta)=u(rcos(\theta),rsin(\theta)), r>0 , 0<\theta<2\pi$
Calcolare $(delw)/(delr)$ e $(delw)/(del\theta)$
Anche qui arrivo allo stesso punto ma non so continuare
$(delw)/(delr)=(delw)/(delu)(delu)/(delr)$
$(delw)/(del\theta)=(delw)/(delu)(delu)/(del\theta)$
3)E qui comincian le dolenti note
Sia $f(x,y)=e^ycosx+3e^y-4$ verificare che per tutte le $x in RR $ l'equazione $f(x,y)=0$ ha un'unica soluzione $yinRR$ che chiamiamo $y=\phi(x)$.
Calcolare la derivata $\phi'$ in due modi
-Utilizzando l'espressione esplicita di $\phi$
-Derivando in rapporto a x la relazione $f(x,\phi(x))=0$
In questo qui non so proprio dove mettere le mani
Grazie in anticipo di tutto l'aiuto e i suggerimenti
Risposte
ciao, vediamo che tiriamo fuori da questa roba.
1) attento, è $v: RR to RR$ e quindi non ha derivate parziali ma solo una derivata $(dv)/(dy)$ che chiamerò $v'$ . Ho chiamato y la variabile da cui dipende v per distinguerla dalle altre due, in quanto a priori non hanno nessun legame.
siccome $ u(x,t)=v(x+2t) $ ho da derivare una funzione composta: pertanto $(partialu)/(partialx) = v'(x+2t) * (partial)/(partialx) (x+2t)$ e siccome quest'ultima derivata parziale fa 1 rimane solo $v'(x+2t)$. Ovviamente, siccome non hai un'espressione per v, sei obbligato a fermarti qui.
idem per la derivata rispetto a t.
2) di questo non sono sicuro, è tanto che non faccio questi conti e non vorrei dirti balle. Se trovo una soluzione in tempo utile modifico il post. comunque è un procedimento analogo a quanto ho fatto sopra, però ovviamente avrai derivate parziali ovunque
3)tutto quel che ti serve è il potentissimo teorema della funzione implicita, detto anche teorema del Dini.
Leggiti il teorema prima di andare avanti o non capirai cosa sto facendo.
in parole povere il teorema dice che, in uno spazio in cui siano raggiunte delle condizioni sulla funzione, una variabile può diventare dipendente dalle altre mediante una funzione regolare tanto quanto la funzione di partenza.
Ora, nel nostro esercizio quindi basterà verificare le ipotesi del teorema, che sono:
a) $f in C^1(RR^2,RR)$ (decisamente facile)
b)$(partialf)/(partialy) != 0 AA (x,y) in RR^2$. deve essere così in quanto il problema richiede che l'implicita $phi$ sia definita su tutto $RR$. Basta calcolare la derivata parziale e si vede subito che questa condizione è verificata.
Perciò hai finito, il teo ti garantisce l'esistenza della funzione che cerchi.
per la derivata di $phi$ il Dini ti arriva di nuovo in aiuto. C'è una formuletta con cui ricavarla, sempre nel teorema, ma lascio a te questa parte divertente perchè sono molto malvagio
1) attento, è $v: RR to RR$ e quindi non ha derivate parziali ma solo una derivata $(dv)/(dy)$ che chiamerò $v'$ . Ho chiamato y la variabile da cui dipende v per distinguerla dalle altre due, in quanto a priori non hanno nessun legame.
siccome $ u(x,t)=v(x+2t) $ ho da derivare una funzione composta: pertanto $(partialu)/(partialx) = v'(x+2t) * (partial)/(partialx) (x+2t)$ e siccome quest'ultima derivata parziale fa 1 rimane solo $v'(x+2t)$. Ovviamente, siccome non hai un'espressione per v, sei obbligato a fermarti qui.
idem per la derivata rispetto a t.
2) di questo non sono sicuro, è tanto che non faccio questi conti e non vorrei dirti balle. Se trovo una soluzione in tempo utile modifico il post. comunque è un procedimento analogo a quanto ho fatto sopra, però ovviamente avrai derivate parziali ovunque
3)tutto quel che ti serve è il potentissimo teorema della funzione implicita, detto anche teorema del Dini.
Leggiti il teorema prima di andare avanti o non capirai cosa sto facendo.
in parole povere il teorema dice che, in uno spazio in cui siano raggiunte delle condizioni sulla funzione, una variabile può diventare dipendente dalle altre mediante una funzione regolare tanto quanto la funzione di partenza.
Ora, nel nostro esercizio quindi basterà verificare le ipotesi del teorema, che sono:
a) $f in C^1(RR^2,RR)$ (decisamente facile)
b)$(partialf)/(partialy) != 0 AA (x,y) in RR^2$. deve essere così in quanto il problema richiede che l'implicita $phi$ sia definita su tutto $RR$. Basta calcolare la derivata parziale e si vede subito che questa condizione è verificata.
Perciò hai finito, il teo ti garantisce l'esistenza della funzione che cerchi.
per la derivata di $phi$ il Dini ti arriva di nuovo in aiuto. C'è una formuletta con cui ricavarla, sempre nel teorema, ma lascio a te questa parte divertente perchè sono molto malvagio
Grazie mille dell'aiuto
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo