Problemi dubbi perplessità

[westerly]

qualcuno è in grado di dimostrarmi la veridicità di quanto segue:

la funzione f(x)=|x sen x| è derivabile in x = pigreco ????

[Sk_Anonymous]

Secondo me la funzione data non e' derivabile in pigreco.
Infatti poiche' si vuole studiare la derivabilita'
in pigreco sara' sufficiente mantenersi in un intorno piccolo di
pigreco:(pigreco-epsilon,pigreco+epsilon).
Ora per pigreco-epsilon y=xsin(x)-->y'=sin(x)+xcos(x) e in pigreco :y'(pigreco)=-pigreco.
Invece per pigreco<=x y=-xsin(x)-->y'=-sin(x)-xcos(x) e in pigreco:y'(pigreco)=+pigreco.
Una dimostrazione piu' rigorosa richiederebbe il calcolo delle derivate sinistra e destra tramite limite.
karl.

[keplero1]

Per vedere se una funzione è derivabile in un determinato punto è necessario controllare il limite destro e sinistro della derivata facendolo tendere a quel punto. Nel tuo caso per prima cosa devi sdoppiare la funzione perchè c'è un valore assoluto:

f1(x) = x*sinx quando 0 < x < pi
f2(x) = -x*sinx quando pi < x < 2pi

poi ti fai le due derivate:

f1'(x) = sinx + x*cosx
f2'(x) = -sinx - x*cosx

e quindi calcoli i limiti:

lim(x->pi) sinx + x*cosx = -pi
lim(x->pi) -sinx - x*cosx = pi

quindi hai provato che la funzione non è derivabile nel punto!

[westerly]

mille grazie