Problemi differenziali
Buonasera,
Sono un nuovo membro del forum e mi sono iscritto in quanto mercoledì ho la prova orale dell'esame di Analisi Matematica II (facoltà di Ingegneria). Le equazioni differenziali non sono proprio il mio forte, cioè riesco a svolgere gli esercizi ma all'orale il prof in genere fa domande riguardo all'esistenza e unicità della soluzione. Vi riporto di seguito alcuni esempi per essere più chiaro:
es 1) Per quali $ k in R $ il problema ha esistenza locale vicino al punto $ x_0 $ ?
$ { ( y'_((x))=1/(2(x+1))y_((x))-(x+2)1/y_((x)) ),( y_((x))=k):} $
L'esercizio di per sé riesco a svolgerlo ma ho difficoltà a determinare K. Dall'insieme di definizione sicuramente scarterei k=0, ma oltre non riesco ad andare.
es 2) Per quali $ x_0 in R $ il problema ha esistenza locale vicino al punto?
$ { ( y'_((x))=1/xy_((x))+x(y_((x)))^2 ),( y_((x_0))=1):} $
Anche qui problema analogo, non riesco a determinare $ x_0 $ . Credo debba essere diverso da 0.
es 3) Per quali $ x_0, a, b $ ho esistenza e unicità della soluzione. Determinare inoltre in quale insieme esiste.
$ { ( y'_1=2y_1-y_2+sqrt(x-1)),( y'_2=y_1+y_2+1/x):} $
$ { ( y'_1(x_0)=a),( y'_2(x_0)=b):} $
In questo caso avrei trovato che il più grande intervallo che contiene il punto iniziale risulta essere $ (1;+oo ) $ però non riesco a determinare $ x_0, a, b $ .
Vi ringrazio in anticipo per il vostro aiuto, ne ho davvero bisogno, e mi scuso per la scrittura delle equazioni, non sono esperto
Sono un nuovo membro del forum e mi sono iscritto in quanto mercoledì ho la prova orale dell'esame di Analisi Matematica II (facoltà di Ingegneria). Le equazioni differenziali non sono proprio il mio forte, cioè riesco a svolgere gli esercizi ma all'orale il prof in genere fa domande riguardo all'esistenza e unicità della soluzione. Vi riporto di seguito alcuni esempi per essere più chiaro:
es 1) Per quali $ k in R $ il problema ha esistenza locale vicino al punto $ x_0 $ ?
$ { ( y'_((x))=1/(2(x+1))y_((x))-(x+2)1/y_((x)) ),( y_((x))=k):} $
L'esercizio di per sé riesco a svolgerlo ma ho difficoltà a determinare K. Dall'insieme di definizione sicuramente scarterei k=0, ma oltre non riesco ad andare.
es 2) Per quali $ x_0 in R $ il problema ha esistenza locale vicino al punto?
$ { ( y'_((x))=1/xy_((x))+x(y_((x)))^2 ),( y_((x_0))=1):} $
Anche qui problema analogo, non riesco a determinare $ x_0 $ . Credo debba essere diverso da 0.
es 3) Per quali $ x_0, a, b $ ho esistenza e unicità della soluzione. Determinare inoltre in quale insieme esiste.
$ { ( y'_1=2y_1-y_2+sqrt(x-1)),( y'_2=y_1+y_2+1/x):} $
$ { ( y'_1(x_0)=a),( y'_2(x_0)=b):} $
In questo caso avrei trovato che il più grande intervallo che contiene il punto iniziale risulta essere $ (1;+oo ) $ però non riesco a determinare $ x_0, a, b $ .
Vi ringrazio in anticipo per il vostro aiuto, ne ho davvero bisogno, e mi scuso per la scrittura delle equazioni, non sono esperto
Risposte
Ci ho ragionato su ma non riesco a venirne a capo, forse la risposta è più banale di quanto creda. 
Devo applicare il teorema di esistenza e unicità locale nei primi due esempi? Alla fine riesco a determinare dei valori reali di $ k, x_0 $ o basta enunciare il teorema e il prof è contento? Mentre per il terzo esempio è più immediato essendo un sistema lineare e dirò che la soluzione esiste nell'intervallo $ (1; +oo) $ per ogni $ x_0, a, b $ ?
Grazie!
Devo applicare il teorema di esistenza e unicità locale nei primi due esempi? Alla fine riesco a determinare dei valori reali di $ k, x_0 $ o basta enunciare il teorema e il prof è contento? Mentre per il terzo esempio è più immediato essendo un sistema lineare e dirò che la soluzione esiste nell'intervallo $ (1; +oo) $ per ogni $ x_0, a, b $ ?
Grazie!
1) Se \(x_0\neq -1\) e \(k\neq 0\), il problema soddisfa le ipotesi del teorema di esistenza e unicità locale (il secondo membro è una funzione \(C^1\) al di fuori dei punti specificati).
2) Se \(x_0\neq 0\) il problema soddisfa le ipotesi del teorema di esistenza e unicità locale (vedi sopra).
3) \(x_0\geq 1\), per qualsiasi valore di \(a,b\). Il sistema è lineare (non omogeneo); la soluzione esiste, è unica, ed è globale, cioè definita in \([1, +\infty)\).
(Se la definizione data a lezione di soluzione prevede che l'intervallo di definizione sia aperto, allora devi prendere \(x_0>1\) e l'intervallo massimale di definizione è \((1, +\infty)\)).
2) Se \(x_0\neq 0\) il problema soddisfa le ipotesi del teorema di esistenza e unicità locale (vedi sopra).
3) \(x_0\geq 1\), per qualsiasi valore di \(a,b\). Il sistema è lineare (non omogeneo); la soluzione esiste, è unica, ed è globale, cioè definita in \([1, +\infty)\).
(Se la definizione data a lezione di soluzione prevede che l'intervallo di definizione sia aperto, allora devi prendere \(x_0>1\) e l'intervallo massimale di definizione è \((1, +\infty)\)).
Grazie mille! 
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