Problemi di massimo
Ciao a tutti, vi chiedo un aiuto per risolvere questi due problemi di massimo:
1. Determinare le coordinate del punto P (x, y, z) appartenente al piano x + y - 2z = 0 in modo che la somma dei quadrati delle distanze dai piani x + 3z - 6 = 0 e y + 3z - 2 =0 sia minima.
2. Determinare le coordinate del quarto vertice del tetraedro di volume massimo inscritto nell'ellissoide essendo note le coordinate degli altri tre vertici A(1, 0, 0), B(0, -2, 0), C(0, 0, 3)
La mia difficoltà qui è che non riesco a concettualizzare le funzioni da massimizzare.
Spero che qualcuno possa darmi qualche utile suggerimento in questo senso.
Già che ci sono approfitto per ringraziare il Prof. Lussardi per le sue ottime dispense "Esercizi di analisi matematica B", che mi hanno aiutato molto a capire ed affrontare problematiche di questo tipo.
Ciao e grazie.
Giuseppe
1. Determinare le coordinate del punto P (x, y, z) appartenente al piano x + y - 2z = 0 in modo che la somma dei quadrati delle distanze dai piani x + 3z - 6 = 0 e y + 3z - 2 =0 sia minima.
2. Determinare le coordinate del quarto vertice del tetraedro di volume massimo inscritto nell'ellissoide essendo note le coordinate degli altri tre vertici A(1, 0, 0), B(0, -2, 0), C(0, 0, 3)
La mia difficoltà qui è che non riesco a concettualizzare le funzioni da massimizzare.
Spero che qualcuno possa darmi qualche utile suggerimento in questo senso.
Già che ci sono approfitto per ringraziare il Prof. Lussardi per le sue ottime dispense "Esercizi di analisi matematica B", che mi hanno aiutato molto a capire ed affrontare problematiche di questo tipo.
Ciao e grazie.
Giuseppe
Risposte
Per il primo io scriverei in forma parametrica i due piani, ad esempio il primo viene (x + 3z - 6 = 0):
Poi detto il generico punto di R^3 (x,y,z) si studia il minimo della somma al quadrato della differenza delle componenti fra questo e il generico punto sul piano rispetto a t e v. A questo punto si ottiene una funzione di 3 variabili (x,y,z) che rappresenta la distanza al quadrato del punto dal piano. Si ripete anche per l'altro piano (y+3z-2=0) e si sommano le due funzioni.
Infine si arriva ad una funzione di (x,y,z) da minimizzare sull'insieme {x + y - 2z = 0}.
Poi detto il generico punto di R^3 (x,y,z) si studia il minimo della somma al quadrato della differenza delle componenti fra questo e il generico punto sul piano rispetto a t e v. A questo punto si ottiene una funzione di 3 variabili (x,y,z) che rappresenta la distanza al quadrato del punto dal piano. Si ripete anche per l'altro piano (y+3z-2=0) e si sommano le due funzioni.
Infine si arriva ad una funzione di (x,y,z) da minimizzare sull'insieme {x + y - 2z = 0}.
1)La soluzione di Davide e' giusta.Tuttavia osserverei che siccome i tre piani hanno in comune il punto P(3,-1,1),e' proprio questo
punto che rende minima la somma richiesta.
2)Per il secondo esercizio ritengo che l'ellissoide in questione sia quello riferito ai propri assi.Se e' cosi' allora tale ellissoide ha
equazione:
x^2+y^2/4+z^2/9=1
in quanto i suoi semiassi sono 1,2,3.
A questo punto ,detto R(x,y,z) il quarto vertice ,poiche' la base
ABC del tetraedro e' fissa, si deve massimizzare la distanza
(altezza del tetraedro) di R dal piano di ABC.
Tale distanza ,con qualche calcolo,e' data da
h=|6x-3y+2z-6|/7 e quindi la funzione da rendere massima e':
f(x,y,z)=|6x-3y+2z-6| con la condizione x^2+y^2/4+z^2/9-1=0.
Si puo' ricorrere ai moltiplicatori di Lagrange oppure si puo'
parametrizzare l'ellissoide in questo modo:
x=cos(u)cos(v),y=2cos(u)sin(v),z=3sin(u).
Si tratta di far conti.
Ciao.
punto che rende minima la somma richiesta.
2)Per il secondo esercizio ritengo che l'ellissoide in questione sia quello riferito ai propri assi.Se e' cosi' allora tale ellissoide ha
equazione:
x^2+y^2/4+z^2/9=1
in quanto i suoi semiassi sono 1,2,3.
A questo punto ,detto R(x,y,z) il quarto vertice ,poiche' la base
ABC del tetraedro e' fissa, si deve massimizzare la distanza
(altezza del tetraedro) di R dal piano di ABC.
Tale distanza ,con qualche calcolo,e' data da
h=|6x-3y+2z-6|/7 e quindi la funzione da rendere massima e':
f(x,y,z)=|6x-3y+2z-6| con la condizione x^2+y^2/4+z^2/9-1=0.
Si puo' ricorrere ai moltiplicatori di Lagrange oppure si puo'
parametrizzare l'ellissoide in questo modo:
x=cos(u)cos(v),y=2cos(u)sin(v),z=3sin(u).
Si tratta di far conti.
Ciao.
Archimede ha ragione! Mai mettersi a fare i conti senza prima guardare bene in faccia il problema: non imitatemi! [:D] [:D] [:D]
Ragazzi, siete formidabili!!!
Grazie infinite per l'aiuto.
Giuseppe
Grazie infinite per l'aiuto.
Giuseppe
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