Problemi di comprensione del testo

[Jek1]

Ciao a tutti; sto preparando l'esame di metodi matematici ed in particolare le serie di Fourier.
Sono nello spazio $L^2(I)$ in cui sono definiti il seguente prodotto scalare:
$ = int_I f(x) g(x) dx$
e la seguente norma indotta:
$||f||= (int_I f(x)^2 dx)^(1/2)$
Allora mi ritrovo con il seguente testo:

Sia ${ \phi_n}$ per n=1,2,... un sistema ortonormale. Fissiamo una funzione $f$. Per ogni assegnato $k > 0$ naturale, vogliamo trovare la migliore approssimazione di $f$ con combinazioni lineari di $φ_1 , . . . , φ_k$ . In altre parole, vogliamo minimizzare la funzione seguente:

$ \Psi (c_1, c_2, ..., c_k)= ||f - \sum_{n=1}^k c_n \phi_n ||^2 = int_I |f(x) - \sum_{n=1}^k c_n \phi_n(x)|^2 dx$

Un calcolo esplicito dà:
$ \Psi (c_1, c_2, ..., c_k)= ||f||^2 - 2 \sum_{n=1}^k c_n + \sum_{n=1}^k c_n ^2$
Il minimo di $\Psi$ si ottiene per $c_n= $

Le mie domande sono:
1) Come faccio ad ottenere questa?

$ \Psi (c_1, c_2, ..., c_k)= ||f||^2 - 2 \sum_{n=1}^k c_n + \sum_{n=1}^k c_n ^2$

2) Il termine $c_n= $ sarebbe la proiezione ortogonale di $f$ sullo spazio generato dal sistema ortonormale ${ \phi_n}$?

Non riesco a venirne a capo.

[gugo82]

Ne ho parlato, in un setting un po' più generale, qui.

[Jek1]

Grazie, ottima spiegazione! Mi pare di aver capito come ottenere la risposta al punto 1; in pratica applico la proprietà di bilinearità del prodotto scalare e dovrebbe venirmi fuori quella relazione lì.
Invece non ho trovato risposta per quanto riguarda la seconda domanda. Nella tua spiegazione fai riferimento ad una base ortogonale; è proprio questo che non capisco: volendo impostare la spiegazione partendo da una base ortonormale come procedo? Il tutto mi fa pensare che $c_n= $ sia effettivamente la "versione" della proiezione ortogonale usando una base ortonormale. Però non sono sicuro di quanto ho affermato.
Non ne sono sicuro anche perché non riesco a ricavare le relazioni che mi permettono di passare da una "versione" all'altra. Mi puoi aiutare?

[Jek1]

Qualcuno è in grado di aiutarmi sul secondo punto?

[gugo82]

Riferendomi sempre al mio post qui, nel caso in cui \(\{\mathbf{e}^1,\ldots ,\mathbf{e}^n\}\) sia ortonormale basta ricordare che \(|\mathbf{e}^k|=1\) per \(k=1,\ldots ,n\).

Inoltre, i tuoi \(c_n\) non sono "proiezioni" di alcunché, perché essi sono coefficienti numerici e non vettori (e la proiezione ortogonale su un sottospazio è un vettore).