Problemi di Causchy, funzione lipschitziana
Ho sempre considerato valida l implicazione:
f Lipschitziana $<=>$ f' è limitata
e mi pare anche abbastanza banale..
però risolvendo un Problema di Cauchy si è posto il seguente problema:
$ y'=y^6-y^3-2 $
(studio qualitativo in quanto è impossibile da integrare)
Ora per verificare l unicità del limite chiaramente si guarda alla "lipschitzianità" di f(x,y) rispetto a y.
Quindi mi verrebbe da supporre:
$f'(x,y) = 6 y^5 - 3 y^2$
Dunque la derivata tende a infinito, non è limitata e f non è lipschitziana. (basterebbe valutare il fatto che per qualsiasi M esiste un K maggiore uguale al rapporto incrementale).
Conclusione: il libro dice che è lipschitz, dove sta l errore (e forse di chi è)?
Grazie!
f Lipschitziana $<=>$ f' è limitata
e mi pare anche abbastanza banale..
però risolvendo un Problema di Cauchy si è posto il seguente problema:
$ y'=y^6-y^3-2 $
(studio qualitativo in quanto è impossibile da integrare)
Ora per verificare l unicità del limite chiaramente si guarda alla "lipschitzianità" di f(x,y) rispetto a y.
Quindi mi verrebbe da supporre:
$f'(x,y) = 6 y^5 - 3 y^2$
Dunque la derivata tende a infinito, non è limitata e f non è lipschitziana. (basterebbe valutare il fatto che per qualsiasi M esiste un K maggiore uguale al rapporto incrementale).
Conclusione: il libro dice che è lipschitz, dove sta l errore (e forse di chi è)?
Grazie!
Risposte
"d4ni":
Ho sempre considerato valida l implicazione:
f Lipschitziana $<=>$ f' è limitata
e mi pare anche abbastanza banale..
Infatti non è vera.
Una funzione Lipschitz non è tenuta ad essere derivabile (esempio $f(x):=|x|$); però, se lo è, allora la derivata deve necessariamente essere limitata.
"d4ni":
però risolvendo un Problema di Cauchy si è posto il seguente problema:
$ y'=y^6-y^3-2 $
(studio qualitativo in quanto è impossibile da integrare)
In realtà separando le variabili verrebbe fuori l'integrale di una funzione razionale, che si può sempre calcolare con tecniche standard; quindi la soluzione verrebbe fuori in forma implicita.
"d4ni":
Ora per verificare l unicità del limite chiaramente si guarda alla "lipschitzianità" di f(x,y) rispetto a y.
Cosa c'entra l'unicità del limite???
"d4ni":
Quindi mi verrebbe da supporre:
$f'(x,y) = 6 y^5 - 3 y^2$
Dunque la derivata tende a infinito, non è limitata e f non è lipschitziana. (basterebbe valutare il fatto che per qualsiasi M esiste un K maggiore uguale al rapporto incrementale).
Conclusione: il libro dice che è lipschitz, dove sta l errore (e forse di chi è)?
La funzione è localmente Lipschitz, e tanto basta per applicare il teorema di esistenza ed unicità in piccolo, nonché per ragionare sui prolungamenti.
rileggendo il post ho fatto un pò di errori di scrittura..
che la funzione debba essere derivabile ok, ma in questo caso essendolo non mi ero posto il problema..
volevo dire della soluzione
in conclusione però direi che sul libro la cosa la tratta poco, perchè leggendo come è scritto sembra che intenda la funzione lipschtziana su tutto $RR$. poi sul fatto dei prolungamenti sono d accordo, adesso ho capito.
ed effettivamente mi rendo conto ora che l equazione era risolvibile analiticamente ma essendo l esercizio tra quelli di "analisi qualitativa" non mi ero posto il problema di controllare, mea culpa.
ps: il tuo link non mi va.
Grazie.
che la funzione debba essere derivabile ok, ma in questo caso essendolo non mi ero posto il problema..
unicitàdel limite
volevo dire della soluzione
in conclusione però direi che sul libro la cosa la tratta poco, perchè leggendo come è scritto sembra che intenda la funzione lipschtziana su tutto $RR$. poi sul fatto dei prolungamenti sono d accordo, adesso ho capito.
ed effettivamente mi rendo conto ora che l equazione era risolvibile analiticamente ma essendo l esercizio tra quelli di "analisi qualitativa" non mi ero posto il problema di controllare, mea culpa.
ps: il tuo link non mi va.
Grazie.
Che link?
niente scusa mi sono sbagliato..
scusa ma sono un pò stanco...
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