Problemi di Analisi
Salve a tutti, vi propongo due problemini dei quali sono incerto se il procedimento che faccio sia giusto o meno:
1) Data $f(x)=x^9-x^7-x^6+2x+1$ provare che esiste $c€ (-1,1)$ per il quale il coefficiente angolare della retta tangente in quel punto sia uguale a 3
2) Data $y=2x-1$ tangente nel punto x=3 al grafico della funzione $f(x)$ tale che $f ''(x)>=0 per (0,5)$:
Trovare f'(3) e dimostrare che f(4)>=7
Per il primo problema: ho pensato inizialmente ad un'applicazione del Teorema di Lagrange ma purtroppo questo non è risultato utile. Ho quindi provato a calcolare la derivata prima di $f(x)$ e ho calcolato i valori che essa assume agli estremi, ovvero $7$ e $-5$. Poiché la funzione è continua, applico il teorema dei valori intermedi e ho in questo modo verificato che esiste un punto c tra -1 e 1 per il quale la mia derivata assume valore 3 e dunque il coefficiente della retta angolare in quel punto è 3
Per quanto riguarda il secondo: Il coefficiente angolare della retta tangente nel punto 3 è 2, dunque la derivata prima nel punto 3 vale appunto 2. Per dimostrare che $f(4)>=7$ so che poiché la derivata seconda è positiva nell'intervallo dato allora in quello stesso intervallo la derivata prima è crescente. Poiché f'(3) è positiva e f'(4) è essa stessa positiva e maggiore di f'(3), allora la funzione è crescente in senso lato nell'intervallo che ci interessa. A questo punto poiché la nostra f(x) è crescente sappiamo che la l'ordinata della tangente è sempre minore o al massimo uguale di quella di f(x), dunque poiché la tangente in x=4 assume valore y=7 consegue che $f(x)>=7$
Ditemi se ho fatto qualche errore concettuale, grazie in anticipo!!!
1) Data $f(x)=x^9-x^7-x^6+2x+1$ provare che esiste $c€ (-1,1)$ per il quale il coefficiente angolare della retta tangente in quel punto sia uguale a 3
2) Data $y=2x-1$ tangente nel punto x=3 al grafico della funzione $f(x)$ tale che $f ''(x)>=0 per (0,5)$:
Trovare f'(3) e dimostrare che f(4)>=7
Per il primo problema: ho pensato inizialmente ad un'applicazione del Teorema di Lagrange ma purtroppo questo non è risultato utile. Ho quindi provato a calcolare la derivata prima di $f(x)$ e ho calcolato i valori che essa assume agli estremi, ovvero $7$ e $-5$. Poiché la funzione è continua, applico il teorema dei valori intermedi e ho in questo modo verificato che esiste un punto c tra -1 e 1 per il quale la mia derivata assume valore 3 e dunque il coefficiente della retta angolare in quel punto è 3
Per quanto riguarda il secondo: Il coefficiente angolare della retta tangente nel punto 3 è 2, dunque la derivata prima nel punto 3 vale appunto 2. Per dimostrare che $f(4)>=7$ so che poiché la derivata seconda è positiva nell'intervallo dato allora in quello stesso intervallo la derivata prima è crescente. Poiché f'(3) è positiva e f'(4) è essa stessa positiva e maggiore di f'(3), allora la funzione è crescente in senso lato nell'intervallo che ci interessa. A questo punto poiché la nostra f(x) è crescente sappiamo che la l'ordinata della tangente è sempre minore o al massimo uguale di quella di f(x), dunque poiché la tangente in x=4 assume valore y=7 consegue che $f(x)>=7$
Ditemi se ho fatto qualche errore concettuale, grazie in anticipo!!!
Risposte
Direi che è corretto ( nel secondo punto si può dire che la funzione è convessa nell'intervallo che ci interessa che è analogo a quello che hai detto te)
Ciao, grazie per la risposta! Ne approfitto per chiederti un altro parere:
Trovare la funzione $f(x)$ tale che $f " (x)= 1/(x^2) -2$ e che la retta tangente in $x=2$ ad f(x) sia la retta $y=-2x+1$
Allora, ciò che mi interessa è capire se i passaggi logici che faccio sono giusti:
1) Integro la derivata seconda e trovo la derivata prima+parametro c1
2) poiché so che la retta tangente nel punto $x=2$ ha $m=-2$ allora pongo $f'(2)=-2$ e trovo il valore $c=5/2$
3) Integro la funzione appena trovata e ottengo f(x)+parametro c2, allora poiché so che il $q$ della retta tangente in x=2 vale $1$ pongo $1=f(2)-f'(2)*2$ e trovo così anche il valore di $c2$
È corretto?
Trovare la funzione $f(x)$ tale che $f " (x)= 1/(x^2) -2$ e che la retta tangente in $x=2$ ad f(x) sia la retta $y=-2x+1$
Allora, ciò che mi interessa è capire se i passaggi logici che faccio sono giusti:
1) Integro la derivata seconda e trovo la derivata prima+parametro c1
2) poiché so che la retta tangente nel punto $x=2$ ha $m=-2$ allora pongo $f'(2)=-2$ e trovo il valore $c=5/2$
3) Integro la funzione appena trovata e ottengo f(x)+parametro c2, allora poiché so che il $q$ della retta tangente in x=2 vale $1$ pongo $1=f(2)-f'(2)*2$ e trovo così anche il valore di $c2$
È corretto?
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