Problemi convergenza serie
Innanzitutto ciao a tutti e buon pomeriggio.
Visto che riservo ancora qualche dubbio sullo stabilire il carattere di una serie vorrei chiedere aiuto a voi.
Inizio con 2 esercizi:
1) Stabilire per quali valori reali della [tex]x[/tex] la serie [tex]\sum_{n=1}^{+\infty}(e^{-3x}+\frac{1}{3})^n[/tex] converge.
Dato che è una serie geometrica di ragione [tex]r= e^{-3x}+\frac{1}{3}[/tex], e dato che se risulta [tex]|{r}|<1[/tex] la serie converge ho che, essendo la funzione esponenziale sempre positiva, [tex]e^{-3x}+\frac{1}{3}<1[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]-3x[/tex][tex]<[/tex][tex]ln(\frac{2}{3})[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]x>-\frac{ln(\frac{2}{3})}{3}[/tex]. Concludo quindi che la serie converge per valori dalla variabile x maggiori di [tex]-\frac{ln(\frac{2}{3})}{3}[/tex].
2) Stabilire il carattere della seguente serie: [tex]\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{4n+5^{-n}+sin(n!)}{2+ln(4^{-n})}[/tex]
Onestamente non ho un'idea precisa su come procedere dati i metodi di risoluzione appresi: confronto, convergenza per confronto al limite, rapporto e radice.
Io avrei pensato al seguente modo:
[tex]\frac{4n+5^{-n}+sin(n!)}{2+ln(4^{-n})} \leq \frac{4n+5^{-n}+1}{-nln(4)}[/tex] a tal punto scomponendo ottengo che [tex]-\frac{4}{ln(4)}-\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{5^{-n}+1}{nln(4)}=-\frac{4}{ln(4)}-\frac{1}{ln(4)}\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{5^{-n}+1}{n} \geq \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}[/tex] indi per cui avendo come minorante la serie armonica ottengo che la serie data diverge positivamente.
Sono corrette le considerazioni da me svolte in merito a tali serie?
Grazie in anticipo!
Visto che riservo ancora qualche dubbio sullo stabilire il carattere di una serie vorrei chiedere aiuto a voi.
Inizio con 2 esercizi:
1) Stabilire per quali valori reali della [tex]x[/tex] la serie [tex]\sum_{n=1}^{+\infty}(e^{-3x}+\frac{1}{3})^n[/tex] converge.
Dato che è una serie geometrica di ragione [tex]r= e^{-3x}+\frac{1}{3}[/tex], e dato che se risulta [tex]|{r}|<1[/tex] la serie converge ho che, essendo la funzione esponenziale sempre positiva, [tex]e^{-3x}+\frac{1}{3}<1[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]-3x[/tex][tex]<[/tex][tex]ln(\frac{2}{3})[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]x>-\frac{ln(\frac{2}{3})}{3}[/tex]. Concludo quindi che la serie converge per valori dalla variabile x maggiori di [tex]-\frac{ln(\frac{2}{3})}{3}[/tex].
2) Stabilire il carattere della seguente serie: [tex]\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{4n+5^{-n}+sin(n!)}{2+ln(4^{-n})}[/tex]
Onestamente non ho un'idea precisa su come procedere dati i metodi di risoluzione appresi: confronto, convergenza per confronto al limite, rapporto e radice.
Io avrei pensato al seguente modo:
[tex]\frac{4n+5^{-n}+sin(n!)}{2+ln(4^{-n})} \leq \frac{4n+5^{-n}+1}{-nln(4)}[/tex] a tal punto scomponendo ottengo che [tex]-\frac{4}{ln(4)}-\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{5^{-n}+1}{nln(4)}=-\frac{4}{ln(4)}-\frac{1}{ln(4)}\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{5^{-n}+1}{n} \geq \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}[/tex] indi per cui avendo come minorante la serie armonica ottengo che la serie data diverge positivamente.
Sono corrette le considerazioni da me svolte in merito a tali serie?
Grazie in anticipo!
Risposte
La prima va bene.
La seconda no: hai usato 2 volte il confronto, una volta nel verso giusto, l'altra nel verso sbagliato. Hai dimostrato nel modo corretto che $\sum \frac{4n+5^{-n}+1}{-n\ln(4)}$ diverge (anche se ci vorrebbe almeno qualche modulo, scritta così la disuguaglianza è falsa). Però questo non ti permette di concludere che la serie di partenza, che ci sta sotto, diverge. Puoi farlo in modo analogo minorando la serie di partenza invece di maggiorarla
La seconda no: hai usato 2 volte il confronto, una volta nel verso giusto, l'altra nel verso sbagliato. Hai dimostrato nel modo corretto che $\sum \frac{4n+5^{-n}+1}{-n\ln(4)}$ diverge (anche se ci vorrebbe almeno qualche modulo, scritta così la disuguaglianza è falsa). Però questo non ti permette di concludere che la serie di partenza, che ci sta sotto, diverge. Puoi farlo in modo analogo minorando la serie di partenza invece di maggiorarla
Eh, infatti era quella su cui ero più dubbioso, quindi maggiorare per poi minorare e stabilire il carattere significa solamente stabilire il carattere della serie maggiorante alla serie data giusto?
Non riesco a pensare ad un procedimento chiaro e lineare per risolverla... io avrei ipotizzato questo:
come da te consigliato minorando la serie [tex]\frac{4n+5^{-n}-1}{2-2nln(2)} \leq \frac{4n+5^{-n}+sin(n!)}{2-2nln(2)}[/tex] e scomponendola ottengo [tex]\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2n}{1-nln(2)}+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{5^{-n}}{2(1-nln(2))}-\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{2(1-nln(2))}[/tex], essendo la prima serie sicuramente divergente in quanto per [tex]n\rightarrow +\infty[/tex] la successione [tex]a_{n}\rightarrow -\frac{2}{ln(2)}[/tex] abbiamo che la serie diverge negativamente.
Alla serie analizzata, frutto della precedente scomposizione, potrei arrivarci anche minorando la serie originale quindi mi chiedo è corretto come procedimento risolutivo?
Grazie mille ancora!!
Non riesco a pensare ad un procedimento chiaro e lineare per risolverla... io avrei ipotizzato questo:
come da te consigliato minorando la serie [tex]\frac{4n+5^{-n}-1}{2-2nln(2)} \leq \frac{4n+5^{-n}+sin(n!)}{2-2nln(2)}[/tex] e scomponendola ottengo [tex]\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2n}{1-nln(2)}+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{5^{-n}}{2(1-nln(2))}-\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{2(1-nln(2))}[/tex], essendo la prima serie sicuramente divergente in quanto per [tex]n\rightarrow +\infty[/tex] la successione [tex]a_{n}\rightarrow -\frac{2}{ln(2)}[/tex] abbiamo che la serie diverge negativamente.
Alla serie analizzata, frutto della precedente scomposizione, potrei arrivarci anche minorando la serie originale quindi mi chiedo è corretto come procedimento risolutivo?
Grazie mille ancora!!
Sì, è quello il problema.
C'è un'altra cosa: in generale non puoi spezzare la serie come somma di 2 serie e concludere come sopra. Il fatto è che i termini di una serie (a segno variabile) non possono essere riordinati. Ad esempio $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}-\frac{1}{n}=0$. Non puoi dire $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}-\frac{1}{n}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}-\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}$ e poiché la prima diverge anche la somma diverge.
Per fare l'esercizio puoi vedere che il termine del minorante (intero) non è infinitesimo. E comunque $|\frac{4n+5^-n-1}{2-2n\ln(2)}|\leq |\frac{4n+5^{-n}+\sin(n!)}{2-2n\ln(2)}|$. Senza i valori assoluti è falsa.
C'è un'altra cosa: in generale non puoi spezzare la serie come somma di 2 serie e concludere come sopra. Il fatto è che i termini di una serie (a segno variabile) non possono essere riordinati. Ad esempio $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}-\frac{1}{n}=0$. Non puoi dire $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}-\frac{1}{n}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}-\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}$ e poiché la prima diverge anche la somma diverge.
Per fare l'esercizio puoi vedere che il termine del minorante (intero) non è infinitesimo. E comunque $|\frac{4n+5^-n-1}{2-2n\ln(2)}|\leq |\frac{4n+5^{-n}+\sin(n!)}{2-2n\ln(2)}|$. Senza i valori assoluti è falsa.
Intanto ti ringrazio di nuovo!
Ti chiedo: se arrivassi alla conclusione di trovare semplicemente quale serie minorante della serie data in origine la seguente [tex]\frac{2n}{1-nln(n)}[/tex] potrei a tal punto stabilire il carattere facendo il limite del termine generale esplicito [tex]a_{n}[/tex]?
Effettivamente per quanto riguarda la convergenza di serie a termini di segno alterno anche il mio testo tratta l'impossibilità di riordino dei termini della stessa, tra l'altro sfrutta tale "limite" per dimostrare la convergenza della serie armonica oscillante.
Ti chiedo: se arrivassi alla conclusione di trovare semplicemente quale serie minorante della serie data in origine la seguente [tex]\frac{2n}{1-nln(n)}[/tex] potrei a tal punto stabilire il carattere facendo il limite del termine generale esplicito [tex]a_{n}[/tex]?
Effettivamente per quanto riguarda la convergenza di serie a termini di segno alterno anche il mio testo tratta l'impossibilità di riordino dei termini della stessa, tra l'altro sfrutta tale "limite" per dimostrare la convergenza della serie armonica oscillante.
Sì, però quello non è un minorante. Ti consiglio di considerare $\frac{4n+5^{-n}+\sin(n!)}{2n\ln(2)-2}$ così la serie è a termini positivi (a parte il primo) e fare le disuguaglianze su quella.
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