Problemi con uno studio di funzione
Buondì egregio forum! La funzione che sto studiando è questa $ f(x)=|log(|arctg(x+1)|)|+1 $ . Ho lo svolgimento pronto ma provando a farla per contro mio ho trovato non pochi ostacoli, che vi elencherò, sperando che qualche anima buona possa illuminarmi:
1) DOMINIO. Devo ovviamente richiedere che l'argomento di log sia positivo. Nello svolgimento tuttavia trovo scritto che $ |arctg(x+1)| $ è sempre positivo o al più nullo.. questo da cosa deriva? Dalla presenza del modulo o dalle proprietà dell'arcotangente?
2)INTERSEZIONE CON L'ASSE DELLE Y. $ f(0)=|log(pi /4)|+1 $ in questo caso dove sia andato a finire l'arcotangente e da dove spunti il $ pi /4 $
3)LIMITE PER $ xrarr infty $. Esso risulta tendere a $ |log|-pi /2||+1=log(pi /2)+1 $ però non saprei proprio ricostruire il procedimento e infine
4)DERIVATA PRIMA. Mi viene suggerito di eseguirla tramite l'ausilio della funzione segno, ma mi perdo nei calcoli...
Vi sarei enormemente grata, saranno 3 ore che ci lavoro.. grazie mille
1) DOMINIO. Devo ovviamente richiedere che l'argomento di log sia positivo. Nello svolgimento tuttavia trovo scritto che $ |arctg(x+1)| $ è sempre positivo o al più nullo.. questo da cosa deriva? Dalla presenza del modulo o dalle proprietà dell'arcotangente?
2)INTERSEZIONE CON L'ASSE DELLE Y. $ f(0)=|log(pi /4)|+1 $ in questo caso dove sia andato a finire l'arcotangente e da dove spunti il $ pi /4 $
3)LIMITE PER $ xrarr infty $. Esso risulta tendere a $ |log|-pi /2||+1=log(pi /2)+1 $ però non saprei proprio ricostruire il procedimento e infine
4)DERIVATA PRIMA. Mi viene suggerito di eseguirla tramite l'ausilio della funzione segno, ma mi perdo nei calcoli...
Vi sarei enormemente grata, saranno 3 ore che ci lavoro.. grazie mille
Risposte
1) Deriva naturalmente dal valore assoluto, quindi il dominio della funzione è tutto $\mathbb{R}$.
2) $f(0)= |\log(arctg(|0+1|))|+1=|log(\pi/4)|+1$ perché $tan(\pi/4)=1$.
inoltre si vede facilmente che f(x) non incontra mai al'asse x essendo sempre strettamente positiva.
3) si ha che: $lim_{x \to \pi/2} tan(x) = \infty$, quindi...
4) Basta sapere che $d/dx |x|=sgn(x)=x/|x|$... A te i calcoli.
2) $f(0)= |\log(arctg(|0+1|))|+1=|log(\pi/4)|+1$ perché $tan(\pi/4)=1$.
inoltre si vede facilmente che f(x) non incontra mai al'asse x essendo sempre strettamente positiva.
3) si ha che: $lim_{x \to \pi/2} tan(x) = \infty$, quindi...
4) Basta sapere che $d/dx |x|=sgn(x)=x/|x|$... A te i calcoli.
Grazie mille, sei stato chiarissmo!
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