Problemi con un teorema banale

[mrcbrt]

Allora, sul libro mi sono imbattuto su un teorema mentre ripassavo, con scritto:
teorema numero 2.21 dell'immagine sottostante:


non ho capito proprio come è formulato, perchè g(y) ad esempio...

[rino6999]

il teorema si è avvalso della proprietà associativa dell'operazione di composizione delle funzioni
inoltre,per ipotesi,si ha
$f @ g=g @ f =f @ g_1=g_1 @ f =id_A $

[Emar1]

Allora, una funzione $f$ è una relazione che agli elementi di un insieme $A$, associa un solo elemento dell'insieme $B$ secondo una certa regola che per ora non ci interessa. Invertire una funzione significa trovare una funzione $g$ che agli elementi di $B$ associ un solo elemento di $A$ e tale che la composizione $g \circ f =f \circ g = id $, ovvero che, per ogni $x \in A$ $g(f(x)) = x$ e per ogni $y \in f(A) \subseteq B$ si ha $f(g(y)) = y$.

$y$, in questo caso quindi, indica un elemento dell'immagine di $f$, ovvero un elemento di $B$ su cui le funzioni $g_1$ e $g_2$ agiscono.

EDIT: Ancora una volta è arrivato prima raf

[mrcbrt]

vi ringrazio, ora è tutto chiaro
grazie ancora!

[gio73]

mrcbt
benvenuto sul forum, ti chiedo di editare il tuo primo messaggio ricopiando i passaggi oggetto di discussione (vedrai non è difficile, consulta la guida per scrivere le formule che trovi nel box rosa in alto). Purtroppo le immagini dopo un certo periodo non si caricano più e questa discussione perderebbe di significato. Grazie e buona permanenza.

[mrcbrt]

"raf85":il teorema si è avvalso della proprietà associativa dell'operazione di composizione delle funzioni
inoltre,per ipotesi,si ha
$f @ g=g @ f =f @ g_1=g_1 @ f =id_A $

ma in teoria non era $f @ g= id_A e g @ f =id_B ? quindi id_B è diverso da id_A

[mrcbrt]

"mrcbrt":[quote="raf85"]il teorema si è avvalso della proprietà associativa dell'operazione di composizione delle funzioni
inoltre,per ipotesi,si ha
$f @ g=g @ f =f @ g_1=g_1 @ f =id_A $

ma in teoria non era $f @ g= id_A e g @ f =id_B $ ? quindi $id_B$ è diverso da$ id_A$[/quote]

[rino6999]

si è vero ,scusa,mi son lasciato prendere la mano dalla catena di uguaglianze
però, attenzione
si ha
$f @ g =f @ g_1=id_B $ e $g @f=g_1 @ f=id_A $
comunque,nonostante questa mia disattenzione,il ragionamento fila lo stesso

[mrcbrt]

si, ora fila grazie ^^