Problemi con un problema di Cauchy

[Cantor99]

Stavo svolgendo questo esercizio e vi chiedo di controllare quanto fatto e aiutarmi laddove mi sono perso (sono entrambi in spoiler).

Sia il problema di Cauchy
\[
u'=u^{2}-e^{-t} \qquad u(0)=a\in \mathbb{R}
\]
Discutere al variare di $a$ l'esistenza globale/blow up a tempo finito. Farlo in particolare per $a=0,2$ e disegnarne qualitativamente le soluzioni per tali valori.

La funzione $f(t,y)=y^2-e^{-t}$ è di classe $C^{\infty}(\mathbb{R}^{2})$ e quindi ho esistenza e unicità locale. Il campo $f$ è negativo per $(t,y)\in A=\{(t,y): -e^{-t/2}
Per $a>1$ ho svolto così.

Per $t<0$ la soluzione $u$ è al di sopra di $\psi$ e si mantiene localmente così. Ora $\psi$ decresce mentre $u$ cresce quindi c'è un istante di contatto $\xi$. Qui
\[
u''(\xi)=2u(\xi)u'(\xi)+e^{-\xi}=e^{-\xi}>0
\]
Quindi $t=\xi$ è un punto di minimo locale.
Per $t<\xi$ non ci può essere un nuovo incontro con $\psi$ altrimenti avremmo di nuovo un punto di minimo locale: dunque $u$ cresce a sinistra di $\xi$, cioè cresce in $A$, assurdo (***). Questo prova che $u$ si mantiene sotto l'esponenziale per $t<\xi$ e che la soluzione si prolunga fino $-\infty$.
Per $t>0$ osservo che $u'>u^{2}$ e quindi $u(t)>\frac{1}{1/a-t}$: dovrei avere allora un blow-up a tempo finito. Dunque l'intervallo massimale di esistenza per $a>1$ è del tipo $(-\infty,\beta)$.
Infine ho calcolato i seguenti limiti
\[
\lim_{t\to-\infty}u(t)=+\infty \qquad \lim_{t\to\beta}u(t)=+\infty
\]

Per $a<1$ ho le idee confuse

Mi aspetto che esista un certo $-1<\overline{a}<1$ tale che
1. per $\overline{a}0$ e $u$ divergente positivamente per $t<0$, stando sempre al di sotto di $\psi$.
2. per $a<\overline{a}$ devo avere estremo destro massimale $\beta$ finito. Per esempio se scelgo $a<-1$, la soluzione cresce a destra di 0 e deve per forza incontrare $\varphi$ dopodiché si trova l'assurdo che ho già spiegato qui ***

[Cantor99]

In attesa di risposte, inizio a correggere una mia previsione.

Per $-1 \[
\lim_{t\to+\infty}u(t)=0
\]

Per $a\le-1$ mi aspetto invece blow-up a tempo finito per l'assurdo ***