Problemi con un limite
Salve ragazzi, all'università mi è stato assegnato di studiare questa funzione:
$ f(x) = e^((x^2)/(1-x)) - (x^2)/(1-x) $
Durante lo studio del suo comportamento agli estremi del dominio, che dovrebbe essere R-{1}, ho avuto dei problemi, poichè non riesco a calcolare $ lim_(x -> 1^-)f(x) $. Infatti, studiando il segno di $ 1-x, 1-x>0 $ per $ x<1 $. Quindi ho questa forma indeterminata:
$ e^(1/0^+) - 1/(0^+) = e^(+oo) - (+oo) = +oo - oo = ? $
Disegnando il grafico della funzione con GeoGebra, dovrebbe risultare $ +oo $, risultato confermato anche da diversi risolutori di limiti online, che però non riportano i calcoli completi.
Se non sbaglio non si può ricorrere allo sviluppo del polinomio di Taylor, poichè $ e^(x^2/(1-x)) $ non è derivabile in x=1.
Qualsiasi artificio algebrico abbia provato mi riporta ad un'altra forma indeterminata. Suggerimenti/svolgimenti riguardanti la risoluzione di questo problema? Grazie in anticipo.
$ f(x) = e^((x^2)/(1-x)) - (x^2)/(1-x) $
Durante lo studio del suo comportamento agli estremi del dominio, che dovrebbe essere R-{1}, ho avuto dei problemi, poichè non riesco a calcolare $ lim_(x -> 1^-)f(x) $. Infatti, studiando il segno di $ 1-x, 1-x>0 $ per $ x<1 $. Quindi ho questa forma indeterminata:
$ e^(1/0^+) - 1/(0^+) = e^(+oo) - (+oo) = +oo - oo = ? $
Disegnando il grafico della funzione con GeoGebra, dovrebbe risultare $ +oo $, risultato confermato anche da diversi risolutori di limiti online, che però non riportano i calcoli completi.
Se non sbaglio non si può ricorrere allo sviluppo del polinomio di Taylor, poichè $ e^(x^2/(1-x)) $ non è derivabile in x=1.
Qualsiasi artificio algebrico abbia provato mi riporta ad un'altra forma indeterminata. Suggerimenti/svolgimenti riguardanti la risoluzione di questo problema? Grazie in anticipo.
Risposte
$$ t = \frac{x^2}{1-x}, \qquad x \to 1^- \implies \ t \to + \infty$$
Quindi:
$$ \lim_{x \to 1^-}{e^{\frac{x^2}{1-x}} - \frac{x^2}{1-x} } = \lim_{t \to + \infty} e^t - t = \lim_{t \to + \infty} { e^t \left (1 - {\frac{t}{e^t}}\right ) }= + \infty$$
Quindi:
$$ \lim_{x \to 1^-}{e^{\frac{x^2}{1-x}} - \frac{x^2}{1-x} } = \lim_{t \to + \infty} e^t - t = \lim_{t \to + \infty} { e^t \left (1 - {\frac{t}{e^t}}\right ) }= + \infty$$
Grazie mille. Giusto per chiarezza,
$ lim_(t -> +oo)t/e^t = 0 $ perché, per $ t->+oo $, $ e^t > t $ applicando la gerarchia degli infiniti, giusto?
$ lim_(t -> +oo)t/e^t = 0 $ perché, per $ t->+oo $, $ e^t > t $ applicando la gerarchia degli infiniti, giusto?
"VincenzoPetrone":
Grazie mille. Giusto per chiarezza,
$ lim_(t -> +oo)t/e^t = 0 $ perché, per $ t->+oo $, $ e^t > t $ applicando la gerarchia degli infiniti, giusto?
È un limite notevole. Vale per ogni potenza della $t$. Vedi qui viewtopic.php?f=36&t=168390
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