Problemi con tre semplici limiti di successioni

[Skorpjone]

raga, come si risolvono sti tre limiti di successioni:

limite per n che tende a infinito di:

$(1-2/n^2)^n

$((3-n)/(2n+5))^n

$((-1)^n-n)/n


non riesco a capire come si fanno.....

[Mortimer1]

Ulilizzando i limiti notevoli, in particolare tutti questi limiti si risolvono con il limite notevole: $lim_(n->+oo) a^n$
Vi sono quatttro casi: a>1, a=1, -1

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[Mortimer1]

Per il terzo limite, sai che il limite notevole $(-1)^n$ non esiste quindi -n/n=1, per gli altri puoi sviluppare i termini in parentesi e dopo utilizzare i limiti notevoli.

[fireball1]

"Mortimer":Ulilizzando i limiti notevoli, in particolare tutti questi limiti si risolvono con il limite notevole: $lim_(n->+oo) a^n$

No! Non ci sono costanti elevati alla $n$, ma funzioni di $n$ !

[Mortimer1]

Forse ho dato per scontati alcuni passaggi...Prendiamo il secondo limite per esempio:
$lim_(n->+oo)((3-n)/(2n+5))^n= lim_(n->+oo)(lim_(n->+oo)n(3/n-1)/(n(2+5/n)))^n$ $= lim_(n->+oo)(-1/2)^n=0$
In questo come negli altri casi sviluppando i limiti di funzione contenuti in parentesi ci si ritrova una costante ^n.

@fireball
dimmi se concordi o meno

[fireball1]

La prima cosa che farei è scrivere $e^(nlog((3-n)/(2n+5)))$
ora l'argomento del logaritmo tende a $-1/2$, quindi secondo me non esiste quel limite...
E' possibilissimo che mi sbagli. Una cosa certa è che non hai limiti
di costanti elevati alla $n$ in partenza...

[Mortimer1]

Non penso che l'equivalenza $e^logf(n)=f(n)$ in funzioni definite in $N$ sia la stessa cosa che in funzioni definite in $R$, ho molti dubbi.
Vi sono altre strade?

[Fioravante Patrone1]

"Mortimer":Non penso che l'equivalenza $e^logf(n)=f(n)$ in funzioni definite in $N$ sia la stessa cosa che in funzioni definite in $R$, ho molti dubbi.

no, Mortimer, il tuo punto di vista non è quello giusto

l'uguaglianza è $e^log(a) = a$, che vale per $a >0$
che questo $a$ sia il valore assunto da una funzione definita sui naturali o una sui reali, non fa nessuna differenza
e non lo farebbe neanche se avessi una funzione definita su un insieme di cornacchie!

[Mortimer1]

@ Fioravante Patrone


Giusto, e grazie per avermi apportato chiarezza soprattutto grazie all'esempio dell'insieme di cornacchie

Quindi l'uguaglianza $e^log(a) = a$ apriorisiticamente determinata, senza conoscere la positività dell'argomento è arbitraria?

[Fioravante Patrone1]

"Quindi l'uguaglianza $e^log(a) = a$ apriorisiticamente determinata, senza conoscere la positività dell'argomento è arbitraria?"

se ho capto la domanda (non sono sicurissimo), la risposta è sì

insomma: l'uguaglianza $e^log(a) = a$ è vera se e solo se $a > 0$. Se $a \le 0$, l'espressione a sinistra non è definita, e quindi non può sussistere l'uguaglianza

[Sk_Anonymous]

Inutile ripetere quanto già da me affermato in più accasioni e che qui ribasdisco ancora una volta...

L'identità $e^ln a=a$ è valida per qualunque $a$ in $C$, sotto opportune condizioni anche per $a=0$...

Certo, dal momento che siamo 'in democrazia', ognuno è libero di accettare o no tale 'verità'. Se poi per alcuni certi problemi risultano 'insolubili' e per altri no... c**** per quest'ultimi e questi soltanto!...

cordiali saluti

lupo grigio



An old wolf may lose his teeth, but never his nature

[Mortimer1]

@lupo grigio
Dove posso recuperare questo confronto?, Vorrei comunque leggere e capire il tuo punto di vista

[Skorpjone]

ho risolto il 2 e il 3 ma mi manca il primo....mi viene $1^n$......non è una forma indeterminata? come la levo l'indeterminazione?

[Sk_Anonymous]

"Mortimer":@lupo grigio
Dove posso recuperare questo confronto?... vorrei comunque leggere e capire il tuo punto di vista...

Caro Mortimer
di 'confronti' te ne potrei citare parecchi... questo però mi pare assai indicativo...

https://www.matematicamente.it/f/viewtop ... ght=#78236

Il 'nodo cruciale' sul quale verte il discorso quando di parla di 'esponente' è il fatto che vi è una tenace ostinazione da parte di 'qualcuno' a non voler neppure sentir parlare di 'funzioni polidorme', ossia funzioni 'a più valori'. Una di queste è la 'funzione logaritmo' $f(z)=ln z$, la quale, come noto, è definita per ogni $z ne 0$ a meno di un termine $j*k*2*pi$ , con $k$ intero arbitrario. Il fatto che la funzione logaritmo sia 'polidroma' comporta la stessa proprietà per altre funzioni, tra le quali la 'funzione esponente'...

$f(z)= z^alpha$ (1)

E' ovvio che l'identità...

$z^alpha= e^(alpha*ln z)$ (2)

... comporta che la (1) in generale sarà una funzione polidroma, e non solo. Si hanno infatti i seguenti casi...

a) se $alpha$ è intero $f(z)$ sarà ad un solo valore...

b) se $alpha$ è razionale ed è $alpha=m/n$ con $m$ ed $n$ interi primi fra loro, allora la $f(z)$ avrà per ogni $z$ n valori distinti...

c) se $alpha$ è irrazionale allora $f(z)$ avrà per ogni $z$ infiniti valori distinti...

cordiali saluti

lupo grigio



An old wolf may lose his teeth, but never his nature

[Sk_Anonymous]

In merito alle richieste poste dall'amico 'Scorpion' il primo ed il secondo limite possono essere trovati cercando il $lim_(n->+oo) ln a_n$. Per fare questo è utile servirsi dello sviluppo in serie seguente...

$ln(1-x)= -x-x^2/2-x^3/3-... $ (1)

Buon lavoro... e naturalmente...

cordiali saluti

lupo grigio



An old wolf may lose his teeth, but never his nature

[Luca.Lussardi]

Lupo grigio, sappiamo tutti ormai che conosci l'Analisi complessa, non c'è bisogno che ci mostri la tua bravura sempre in ogni post. Un banale limite di successioni diventa per te occasione di tirare fuori l'eterno discorso sul quale nessuno avrà mai ragione ed altri torto, poichè non ci si mette d'accordo sulle definizioni, e questo atteggiamento da parte tua è ben poco matematico.

L'abilità di un bravo divulgatore, ed anche di un bravo matematico, sta nel proporre la strada più semplice ed elegante ad un problema, soprattutto se chi sta ascoltando non conosce il logaritmo complesso e tutta la problematica sulla polidromia.

Insomma per dimostrare che $f(x)=x^2$ ha minimo assoluto su $[0,1]$ potrei anche io usare i metodi diretti del Calcolo delle variazioni, ma non è più facile forse osservare che $f(0)=0$ e che $f(x) \geq 0$ per ogni $x \in [0,1]$?

[Skorpjone]

credo abbiate un po degenerato! cmq sono riuscito a risolverli! grazie dell'aiuto.....ora delucidatemi su questi altri tre limiti per x che tende a infinito:

$x*sen(1/x)$

$log(x+1)-log(x-2)$

$(1+1/x^2)^x$

[Sk_Anonymous]

Sperando ti vadano bene i suggerimenti di un 'degenerato' ...

a) si opera la sostituzione $t=1/x$ e si cerca il $lim_(t->0) (sin t)/t

b) si cerca il $lim_(x->+oo) ln ((x-1)/(x-2))

c) si applica ancora una volta lo sviluppo in serie...

$ln (1+t)= t-t^2/2+t^3/3-... $ (1)

... e si cerca il $lim_(x->+oo) x*ln (1+1/(x^2))$ ponendo $t=1/(x^2)$ ovvero $x=1/sqrt(t)$...

cordiali saluti

lupo grigio



an old wolf may lose his teeth, but never his nature

[Skorpjone]

grazie mille, cmq scherzavo col termine degenerato!

[Fioravante Patrone1]

"Luca.Lussardi":
L'abilità di un bravo divulgatore, ed anche di un bravo matematico, sta nel proporre la strada più semplice ed elegante ad un problema, soprattutto se chi sta ascoltando non conosce il logaritmo complesso e tutta la problematica sulla polidromia.

sottoscrivo pienamente

facciamo un altro esempio:
la funzione che vale $0$ per $x < 0$ e $1$ per $x \ge 0$ è derivabile?

se questa domanda me la fa uno che sta studiando analisi 1 o equivalenti gli rispondo di no

mentre so benissimo che si tratta della funzione di Heaviside che è derivabile infinite volte nel senso delle distribuzioni
ma dovrei rispondere questo???

quindi, tornando all'argomento del topic, se Mortimer rifacesse la domanda, risponderei allo stesso modo
anche ora che lupo grigio ci ha illuminati tutti con la luce della sua sterminata cultura matematica