Problemi con sviluppo in serie di Taylor
Buongiorno,
facendo degli esercizi sullo sviluppo in serie di potenze mi sono accorto di avere ancora dei pericoloso dubbi sulla questione, e posto sperando di scioglierli.
L'esercizio che me li ha fatti insorgere è il seguente:
Sviluppare in serie di potenze di centro $x_0=0$ la funzione $f(x)=e^(1-x^2)$
Io ho pensato di ricondurmi allo sviluppo in serie di Taylor di centro $x_0=0$ dell'esponenziale: $e^z=\sum_(n=0) ^(+\infty) z^n/(n!)$, considerando $z=1-x^2$
Così facendo però trovo una serie fatta nel seguente modo: $e^(1-x^2)=\sum_(n=0) ^(+\infty) 1/(n!)(1-x^2)^n$
Ed ecco i miei problemi:
1)questa quì non è una serie di potenze
2)confrontando con il computer i grafici dei polinomi di Taylor (ottenuti considerando i primi N termini della serie) ed il grafico di $f(x)=e^(1-x^2)$ si vede che i polinomi la approssimano in un intorno di 1, e non di 0
http://www.wolframalpha.com/input/?i=Plot[{Exp[1-x^2]%2C1%2B1-x^2%2B1%2F2%281-x^2%29^2%2B1%2F6%281-x^2%29^3}%2C{x%2C-1%2C2}]
facendo degli esercizi sullo sviluppo in serie di potenze mi sono accorto di avere ancora dei pericoloso dubbi sulla questione, e posto sperando di scioglierli.
L'esercizio che me li ha fatti insorgere è il seguente:
Sviluppare in serie di potenze di centro $x_0=0$ la funzione $f(x)=e^(1-x^2)$
Io ho pensato di ricondurmi allo sviluppo in serie di Taylor di centro $x_0=0$ dell'esponenziale: $e^z=\sum_(n=0) ^(+\infty) z^n/(n!)$, considerando $z=1-x^2$
Così facendo però trovo una serie fatta nel seguente modo: $e^(1-x^2)=\sum_(n=0) ^(+\infty) 1/(n!)(1-x^2)^n$
Ed ecco i miei problemi:
1)questa quì non è una serie di potenze
2)confrontando con il computer i grafici dei polinomi di Taylor (ottenuti considerando i primi N termini della serie) ed il grafico di $f(x)=e^(1-x^2)$ si vede che i polinomi la approssimano in un intorno di 1, e non di 0
http://www.wolframalpha.com/input/?i=Plot[{Exp[1-x^2]%2C1%2B1-x^2%2B1%2F2%281-x^2%29^2%2B1%2F6%281-x^2%29^3}%2C{x%2C-1%2C2}]
Risposte
Giovincello, mai viste le proprietà delle potenze? [tex]$e^{1-x^2}=e\cdot e^{-x^2}$[/tex] e quindi....
Sisi, ma il problema infatti non è risolvere l'esercizio, è capire come mai se non faccio quel passaggio ottengo lo sviluppo centrato in 1.
A mio avviso questi erano due modi equivalenti di svolgerlo (anche se evidentemente, per un motivo di cui sono all'oscuro,non è così)
A mio avviso questi erano due modi equivalenti di svolgerlo (anche se evidentemente, per un motivo di cui sono all'oscuro,non è così)
Se tu hai [tex]x_0=0[/tex] allora [tex]z_0=1[/tex]. Quindi non puoi usare lo sviluppo di [tex]e^z[/tex] centrato in [tex]0[/tex].
No che non sono equivalenti! Tu cerchi lo sviluppo per analogia con il caso in cui $z=0$, per cui l'esponente della funzione deve essere uguale a zero in tale punto! Ma se sostituisci il tuo $x_0=0$ ottieni che l'esponente è uguale a $1-0=1$ per cui dovresti procedere usando lo sviluppo della funzione $e^z$ calcolato in $z=1$, che è uguale a
[tex]$e^z=\sum_{n=0}^\infty \frac{e}{n!}(z-1)^n$[/tex]
da cui sostituendo per $z=1-x^2$ trovi
[tex]$e^{1-x^2}=\sum_{n=0}^\infty\frac{e}{n!} (-x^2)^n=e\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n x^{2n}}{n!}$[/tex]
dove l'ultima serie scritta è proprio lo sviluppo in $x_0=0$ di $e^{-x^2}$.
[tex]$e^z=\sum_{n=0}^\infty \frac{e}{n!}(z-1)^n$[/tex]
da cui sostituendo per $z=1-x^2$ trovi
[tex]$e^{1-x^2}=\sum_{n=0}^\infty\frac{e}{n!} (-x^2)^n=e\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n x^{2n}}{n!}$[/tex]
dove l'ultima serie scritta è proprio lo sviluppo in $x_0=0$ di $e^{-x^2}$.
Uff, ho provato a farlo di nuovo, ma continua a non venire
La dispensa da dove ho preso gli esercizi da come risultato $e* \sum_(n=0) ^(+\infty) (-1)^n/(n!)x^(2n)$
Io dico:
1) La serie può essere ricondotta con un cambio di variabile alla serie $e^z=\sum_(n=0) ^(+\infty) z^n/(n!)$, con la differenza però che ponendo $z":="1-x^2$, quando $x_0=0$ risulta che $z_0=1+x_0 ^2=1$, e cioè devo considerare lo sviluppo in serie di $e^z$ centrato in $1$.
2) Calcolo lo sviluppo di $e^z$ con $z_0=1$, e risulta che $e^z=\sum_(n=0) ^(+\infty) 1/(n!)(z-1)^n$
3) Sostituisco nella serie $z":="1-x^2$, e trovo che $e^(1-x^2)=\sum_(n=0) ^(+\infty) 1/(n!)(1-x^2-1)^n=\sum_(n=0) ^(+\infty) (-1)^n/(n!)(x)^(2n)$
e questa è diversa sia a quella del libro che a quella di ciampax
La dispensa da dove ho preso gli esercizi da come risultato $e* \sum_(n=0) ^(+\infty) (-1)^n/(n!)x^(2n)$
Io dico:
1) La serie può essere ricondotta con un cambio di variabile alla serie $e^z=\sum_(n=0) ^(+\infty) z^n/(n!)$, con la differenza però che ponendo $z":="1-x^2$, quando $x_0=0$ risulta che $z_0=1+x_0 ^2=1$, e cioè devo considerare lo sviluppo in serie di $e^z$ centrato in $1$.
2) Calcolo lo sviluppo di $e^z$ con $z_0=1$, e risulta che $e^z=\sum_(n=0) ^(+\infty) 1/(n!)(z-1)^n$
3) Sostituisco nella serie $z":="1-x^2$, e trovo che $e^(1-x^2)=\sum_(n=0) ^(+\infty) 1/(n!)(1-x^2-1)^n=\sum_(n=0) ^(+\infty) (-1)^n/(n!)(x)^(2n)$
e questa è diversa sia a quella del libro che a quella di ciampax
Opssssss.... scusa, errore mio, ho dimenticato il segno $-$. Correggo!
Adesso mi accorgo, lo sviluppo di $e^z$ con centro $z_0=1$ che ho considerato io è sbagliato.
Cioè io pensavo che bastasse scrivere $e^z=\sum_(n=0) ^(+\infty) 1/(n!)(z-1)^n$, invece al numeratore nella formula c'è anche un $e$ che a me manca. Come hai fatto la traslazione?
Cioè io pensavo che bastasse scrivere $e^z=\sum_(n=0) ^(+\infty) 1/(n!)(z-1)^n$, invece al numeratore nella formula c'è anche un $e$ che a me manca. Come hai fatto la traslazione?
Non ti conviene usare una traslazione, visto che il punto dove vuoi sviluppare è già $x_0=0$. Nei casi in cui la funzione non abbia la variabile "giusta" (come in questo caso) devi cercare di usare proprietà della funzione che ti permettono di ricondurti alla serie di McLaurin: in questo caso il trucco corretto è quello che ti ho suggerito all'inizio, cioè di scrivere $e^{1-x^2}=e\cdot e^{-x^2}$. Il metodo di svolgimento che ho usato dopo, quello di calcolare lo sviluppo in $z_0=1$ va bene solo con la funzione esponenziale, visto che $D^{(n)}[e^x]=e^x,\ \forall\ n\in NN$. Inoltre, la formula che io ho scritto per lo sviluppo in $z_0=1$ viene dalla formula generale dello sviluppo di Taylor che afferma
[tex]$f(z)=\sum_{n=0}^n \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!} (z-z_0)^n+o((z-z_0)^n)$[/tex]
[tex]$f(z)=\sum_{n=0}^n \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!} (z-z_0)^n+o((z-z_0)^n)$[/tex]
Ti ringrazio molto dell'aiuto, ma come si dice dalle mie parti io sono proprio "di coccio".
Adesso stavo guardando un altro esercizio, nel quale questa volta si chiede di sviluppare la funzione $ln(1+x)$ nel punto $x_0=1$.
Usando lo sviluppo della funzione $ln(1+z)$ centrato in $z_0=0$ credo dovrebbe essere facile ricondursi al caso dove voglio arrivare io (lo dico solo perchè sono simili, magari in realtà cambia tutto).
Ora però come posso ricondurmi al caso centrato in zero? Ai corsi di analisi I e II so che il docente faceva spesso cambi di variabili, ma è sempre stato dato per scontato il "dove si vuole arrivare". Nel mio caso adesso non so proprio dove andare a parare, o quale sia lo scopo a cui devo tendere per semplificare le cose. Ovviamente non pretende nessuno un algoritmo da terza elementare, ma almeno una traccia per risolvere gli esercizi a mio parere dovrebbero darla ai corsi universitari.
Ho anche provato a cercare dispense in rete, ma non ho trovato nulla che parlasse nello specifico di questi casi quì
Adesso stavo guardando un altro esercizio, nel quale questa volta si chiede di sviluppare la funzione $ln(1+x)$ nel punto $x_0=1$.
Usando lo sviluppo della funzione $ln(1+z)$ centrato in $z_0=0$ credo dovrebbe essere facile ricondursi al caso dove voglio arrivare io (lo dico solo perchè sono simili, magari in realtà cambia tutto).
Ora però come posso ricondurmi al caso centrato in zero? Ai corsi di analisi I e II so che il docente faceva spesso cambi di variabili, ma è sempre stato dato per scontato il "dove si vuole arrivare". Nel mio caso adesso non so proprio dove andare a parare, o quale sia lo scopo a cui devo tendere per semplificare le cose. Ovviamente non pretende nessuno un algoritmo da terza elementare, ma almeno una traccia per risolvere gli esercizi a mio parere dovrebbero darla ai corsi universitari.
Ho anche provato a cercare dispense in rete, ma non ho trovato nulla che parlasse nello specifico di questi casi quì
Ho trovato la soluzione dell'esercizio col logaritmo 
, era necessario torvare un cambio di variabile tale che quando $x_0=1$ risultasse $z_0=0$, e ciò si ottiene ponendo $z":="x-1$.
Ma come mai l'esercizio con $e^(1-x^2)$ non si poteva fare con un cambio di variabile? oppure si poteva?
, era necessario torvare un cambio di variabile tale che quando $x_0=1$ risultasse $z_0=0$, e ciò si ottiene ponendo $z":="x-1$.Ma come mai l'esercizio con $e^(1-x^2)$ non si poteva fare con un cambio di variabile? oppure si poteva?
Certo che puoi. L'idea è di ricondursi a una forma comoda. Di solito ci si riconduce allo sviluppo centrato in $0$ perché sono forme notevoli
Ma quindi che cambio di variabile mi conviene usare?
Io pensavo qualcosa tale che quando $x_0=0$ risulti $z_0=0$. Da quì però non so andare avanti perchè non saprei come impostare l'equazione per trovare $z$.
Se pongo $z":=" 1-x^2$ come visto prima è sbagliato, perchè in tal caso $x_0=0 => z_0=1$
Doveri porre $z":="-x^2$, però comunque non risolvo il problema dell'$1$ davanti.
Io pensavo qualcosa tale che quando $x_0=0$ risulti $z_0=0$. Da quì però non so andare avanti perchè non saprei come impostare l'equazione per trovare $z$.
Se pongo $z":=" 1-x^2$ come visto prima è sbagliato, perchè in tal caso $x_0=0 => z_0=1$
Doveri porre $z":="-x^2$, però comunque non risolvo il problema dell'$1$ davanti.
Scusa, ho riletto il testo iniziale. Il cambio di variabile puoi farlo sempre, però è ovvio che se ti complica la vita non lo fai. Come ho detto su il fine è di trovare un modo più comodo per sviluppare. Ma in questo caso devi sviluppare già con centro $0$, quindi non ti conviene fare traslazioni.
Ti conviene invece utilizzare la proprietà delle potenze indicata ciampax e sviluppare [tex]$e^t$[/tex]. Infine sostituisci [tex]t=-x^2[/tex].
Ti conviene invece utilizzare la proprietà delle potenze indicata ciampax e sviluppare [tex]$e^t$[/tex]. Infine sostituisci [tex]t=-x^2[/tex].
Se avessi usato, nel primo esercizio, il cambio di variabile, avresti ottenuto $z=x-1$ da cui $x=z+1$ e quindi
[tex]$1-x^2=(1+x)(1-x)=-z(z+2)$[/tex]
e questo ti avrebbe portato a [tex]$e^{1-x^2}=e^{-z^2-2z}=e^{-z^2}\cdot e^{-2z}$[/tex] e quindi dovresti 1) fare due sviluppi; 2) fare le moltiplicazioni (che sono la cosa peggiore da fare quando sviluppi in serie!).
[tex]$1-x^2=(1+x)(1-x)=-z(z+2)$[/tex]
e questo ti avrebbe portato a [tex]$e^{1-x^2}=e^{-z^2-2z}=e^{-z^2}\cdot e^{-2z}$[/tex] e quindi dovresti 1) fare due sviluppi; 2) fare le moltiplicazioni (che sono la cosa peggiore da fare quando sviluppi in serie!).
Ora ho capito finalmente, vi ringrazio molto per tutte le spiegazioni, siete stati gentilissimi...questa cosa che non sapevo sviluppare in serie stava veramente diventatando un problema per me 
Se posso un ultimo dubbio più che altro formale (poi prometto la faccio finita):
ci sono alcune serie dove l'esponente della variabile non è proprio nella forma canonica, faccio due esempi noti a tutti:
$"cos"(z)=\sum_(n=0) ^(+\infty)(-1)^n/((2n)!)z^(2n)$ e $"sin"(z)= \sum_(n=0) ^(+\infty)(-1)^n/((2n+1)!)z^(2n+1)$
Invece nelle serie di potenze in genere l'esponente della $z$, con le notazioni usate sopra, dovrebbe essere $n$, non $2n$ o $2n+1$
Queste sono delle normali serie di funzioni, dico bene?
Se posso un ultimo dubbio più che altro formale (poi prometto la faccio finita):
ci sono alcune serie dove l'esponente della variabile non è proprio nella forma canonica, faccio due esempi noti a tutti:
$"cos"(z)=\sum_(n=0) ^(+\infty)(-1)^n/((2n)!)z^(2n)$ e $"sin"(z)= \sum_(n=0) ^(+\infty)(-1)^n/((2n+1)!)z^(2n+1)$
Invece nelle serie di potenze in genere l'esponente della $z$, con le notazioni usate sopra, dovrebbe essere $n$, non $2n$ o $2n+1$
Queste sono delle normali serie di funzioni, dico bene?
Lorenz, sinceramente non capisco il senso della domanda. Nello sviluppo delle funzioni seno e coseno ci sono quegli esponenti perché le due funzioni sono, rispettivamente, dispari e pari, e quindi hanno uno sviluppo con potenze solo dispari e pari. Mi chiedo una cosa: ma tu sai come si arriva a scrivere lo sviluppo di Taylor di una funzione? In parole povere: conosci la formula di Taylor?
Inoltre, quelle sono serie di potenze, visto che sono della forma [tex]$\sum_{n=0}^\infty a_n z^n$[/tex]. Le serie di funzioni hanno, se vogliamo dirla così, la variabile e gli indici "mischiati"!
Inoltre, quelle sono serie di potenze, visto che sono della forma [tex]$\sum_{n=0}^\infty a_n z^n$[/tex]. Le serie di funzioni hanno, se vogliamo dirla così, la variabile e gli indici "mischiati"!
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