Problemi con lo svolgimento di alcuni limiti

[lisandro94]

Perdonatemi se ho usato in modo imperfetto le formule, ma non sono pratico con queste cose. Se ci fosse qualcuno così gentile da spiegarmi lo svolgimento di questi limiti gliene sarei grato. Grazie

1) $\lim_{x \to \infty}(x/(2+x))^x$ = $\lim_{x \to \infty}((2+x-2)/(2+x))^x$ = $\lim_{x \to \infty}(1+(-2)/(2+x))^x/$ = e^(-2)
Non capisco come lo riconduca al limite notevole (1+1/x)^x

2) $\lim_{x \to \infty}((x^2)/(2x))^((1-x)/(1+x))$ da come risultato una quantità che tende a più infinito (fin qui tutto bene) elevato ad una quantità che tende ad 1 (???). Perché l'esponente tende ad 1?

3) $\lim_{x \to \infty}(x-2^x)/(log(2-x))$ Il limite viene risolto col confronto tra infiniti, ma io sapevo che si può fare solo in presenza di somma e differenze al numeratore e al denominatore, o sbaglio?

4) $\lim_{x \to \infty}((x^2)-x+logx)/(1-e^x)$ e $\lim_{x \to \infty}(log(1-x)-e^x)/(1-x) $ Al momento del confronto fra infiniti nel primo limite prende tutto il denominatore, mentre nel secondo prende solo il (-x). Perché?

[mazzarri1]

ciao Fortitudo

1) spero di fare giusto, i limiti non sono proprio il mio forte

$lim_(x->infty) (x/(2+x))^x=$

cambio variabile $x+2=t$

$=lim_(t->infty) ((t-2)/t)^(t-2)=$

$=lim_(t->infty) (1-2/t)^(t-2)=$

$=lim_(t->infty) (1-2/t)^t (1-2/t)^(-2)=$

$=e^-2 1^-2=$

$=e^-2$

2) la quantità all'esponente tende a $-1$... la base tende a $+infty$... quindi il limite tende a $1/infty$ quindi vale $0$

per i limiti 3) e 4) al momento non ho idee, lascio ad altri più esperti di me sull'argomento

ciao!!

[francicko]

1)Non capisco la forma della base del limite, $x^2/(2x)=(x/2) $?
, comunque essendo $lim_(x->infty)x×(1/x-1)/(x×(1/x+1))=-1$,
sostituendo avremo $lim_(x->infty)(x/2)^(-1)=lim_(x->infty)(2/x)=0$.
2) $lim_(x->infty)(x-2^x)/log (2-x)$, qui $log (2-x)$ per $x->infty $
, non è definita in quanto l'argomento del logaritmo assumerebb e valori negativi, non è che è per $x->-infty $?
3) $lim_(x->infty)(x^2-x+logx)/(1-e^x)$, qui a numeratore il termine che va piu velocemente ad $infty $, e $x^2$, mentre a denominatore e' $-e^x$, gli altri termini sono trascurabili pertanto possiamo riscrivere il limite come :
$lim_(x->infty)x^2/(-e^x)$ , ma nel confronto tra i due infiniti prevale chiaramente l'esponenziale a denominatore , quindi sarà $lim_(x->infty)x^2/(-e^x)=0$