Problemi con lo studio di una funzione

[elettronica.90]

Salve a tutti... Ritorno con un altro problemino che non riesco a risolvere.

Ho questa funzione:
${(|x^2-|x||,if x<=0),(1-sqrt(x),if 0=1):}$

Devo determinare:
a) l'insieme di definizione $D_f$, di continuità e di derivabilità;
b) gli intervalli di monotonia;
c) $f(Df)$ ed eventuali punti di estremo locale e globale nel dominio naturale.

a) L'insieme di definizione è $D_f={(x,y)inRR:x!=0}$.
L'insieme di continuità è $C_f={(x,y)inRR:x!=0, x!=1}$, infatti in $x=0$ la funzione non esiste, mentre in $x=1$ c'è un punto di discontinuità di I specie.
L'insieme di derivabilità, in questo caso, è uguale a quello di continuità.
E' corretto questo primo punto?

b) Per determinare gli intervalli di monotonia, uso la derivata prima delle funzioni.
Qual è la derivata di $|x^2-|x||$?
La seconda derivata invece è $-1/[2sqrt(x)]$ e quindi in quest'intervallo la funzione è crescente, visto che il denominatore è maggiore di 0. Giusto?
Con la terza derivata avrei qualche altro problema. L'ho calcolata così: $[-2arctg(1/x)]/[x^2+1]$. Quando è crescente la funzione? Secondo il denominatore, è sempre crescente. Mentre per il numeratore?

c) Cosa significa $f(Df)$? I punti cercati sono forse massimi e minimi, relativi e assoluti?

Scusatemi per tutte queste domande e dubbi (anche elementari) che ho. Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto.

[Brancaleone1]

Ciao elettronica.90

"elettronica.90":
a) L'insieme di definizione è $D_f={(x,y)inRR:x!=0}$.
L'insieme di continuità è $C_f={(x,y)inRR:x!=0, x!=1}$, infatti in $x=0$ la funzione non esiste, mentre in $x=1$ c'è un punto di discontinuità di I specie.

Fin qua ok

"elettronica.90":L'insieme di derivabilità, in questo caso, è uguale a quello di continuità.

No, l'insieme di derivabilità non è questo, manca la parte in cui si annulla $|x^2-|x||$ per $x<=0$

"elettronica.90":b) Per determinare gli intervalli di monotonia, uso la derivata prima delle funzioni.
Qual è la derivata di $|x^2-|x||$?

Per la "regola della catena":

$D[|x^2-|x||]=(||x|/x-x|)/(|x|/x-x)*(1-2|x|)$

"elettronica.90":La seconda derivata invece è $-1/[2sqrt(x)]$ e quindi in quest'intervallo la funzione è crescente, visto che il denominatore è maggiore di 0

La derivata è giusta ma... non è vero che qui la funzione è crescente
Rifletti: per qualunque $x in (0,1)$ che vai a sostituire nella derivata il risultato totale (perché guardi solo il denominatore?) è negativo, quindi la funzione è monotona decrescente.

"elettronica.90":Con la terza derivata avrei qualche altro problema. L'ho calcolata così: $[-2arctg(1/x)]/[x^2+1]$. Quando è crescente la funzione? Secondo il denominatore, è sempre crescente. Mentre per il numeratore?

Beh se ti ricordi come si comporta la funzione dell'arcotangente è molto semplice :

$-2arctan(1/x)>0 <=> 1/x<0 <=> x<0$

[elettronica.90]

"Brancaleone":L'insieme di derivabilità non è questo, manca la parte in cui si annulla $|x^2-|x||$ per $x<=0$

Come mai si annulla per $x<=0$ e non solo per $x=0$?

"Brancaleone":Per la "regola della catena":

$D[|x^2-|x||]=(||x|/x-x|)/(|x|/x-x)*(1-2|x|)$

Potresti gentilmente dirmi i passaggi per calcolare questa derivata?

Riguardo invece il quesito c, cosa significa determinare $f(Df)$?

[Frink1]

Scusate l'intromissione, sarà una domanda stupida ma non capisco:

come mai scrivi $ D_f={(x,y)∈R:x!=0} $ se a tutti gli effetti nella definizione della funzione, essa è definita in $ 0 $?

Voglio dire, mi pare che $ |x^2-|x|| $ calcolata in $ 0 $ dovrebbe valere $ 0 $ quindi non continua ma assolutamente definita!

Dove sbaglio?

[elettronica.90]

In effetti Infatti, c'è una discontinuità di I specie con salto 1...
Per la derivabilità, perchè si annulla per $x≤0$?

[Frink1]

Facciamo queste considerazioni:

per $ x<-1 $ dall'espressione della funzione $ |x^2-|x||=|x^2+x| $ si evince subito che $ x^2 $ è sempre maggiore di $ x $, quindi il valore assoluto si può eliminare. La funzione risulta quindi essere $ x^2+x $ e la sua derivata $ 2x+1 $, che come puoi verificare, nell'insieme $ (-oo, -1) $ è $ <0 $ e quindi la funzione decresce.

per $ -1
Non capisco allora cosa intendesse dicendo che la derivata si annulla...

[elettronica.90]

Ok. Quindi, come già dicevo, l'insieme di derivabilità, in questo caso, è uguale a quello di continuità e cioè $C_f={AAx inRR:x!=0, x!=1}$?

Quindi la derivata di $|x^2-|x||$ non è $(||x|/x-x|)/(|x|/x-x)*(1-2|x|)$?
Cosa significa determinare $f(Df)$?

[elettronica.90]

Qualche idea?

[adaBTTLS1]

"elettronica.90":
.............
${(|x^2-|x||,if x<=0),(1-sqrt(x),if 0=1):}$

Devo determinare:
......................
Qual è la derivata di $|x^2-|x||$?

$"se " x<=0," "|x|= -x$
allora
$|x^2-|x|| = |x^2+x|" if "x<=0$ si divide in due parti, per cui la funzione diventa:

${(x^2+x,if x<-1),(-x^2-x,if -1<=x<=0),(1-sqrt(x),if 0=1):}$

sono rimasta indietro nella discussione. spero che quanto ho appena scritto ti sia utile. fammi sapere a che punto sei arrivato.
ciao

[Brancaleone1]

"elettronica.90":Come mai si annulla per $x<=0$ e non solo per $x=0$?

[quote="Frink"]
Non capisco allora cosa intendesse dicendo che la derivata si annulla...

[/quote]
Dove avrei affermato ciò?!
Ho semplicemente detto:

"Brancaleone":No, l'insieme di derivabilità non è questo, manca la parte in cui si annulla $|x^2-|x||$ per $x<=0$

ossia:

${ (|x^2-|x||=0),( x<0 ):}=>x=-1$

Difatti la derivata della funzione nell'intervallo $x<=0$ non è definita in tale punto!

"elettronica.90":Potresti gentilmente dirmi i passaggi per calcolare questa derivata?

Poiché

$D[|x|]=|x|/x$

allora

$D[|x^2-|x||]=(|x^2-|x||)/(x^2-|x|)*D[x^2-|x|]=(|x^2-|x||)/(x^2-|x|)*(2x-|x|/x)$

che è la stessa che ho scritto nel mio primo post, solo scritta diversamente.

[elettronica.90]

Ok... L'unica cosa che non ho capito è il punto c dell'esercizio e cioè determinare $f(Df)$.

Un'altro particolare..

"adaBTTLS":
$"se " x<=0," "|x|= -x$ allora
$|x^2-|x|| = |x^2+x|" if "x<=0$ si divide in due parti

Ho un'altra funzione $||x|-x^2|$ per $x<=0$. Se $x≤0$, $|x|=−x$ e quindi $||x|-x^2|$=$|-x-x^2|$
Dividendo in due parti, cosa risulta?

E in quest'altra funzione? $||x|-1|$ per $00$ allora diventa $|x-1|$. Anche qui devo dividere in due parti?

[adaBTTLS1]

"elettronica.90":Ok... L'unica cosa che non ho capito è il punto c dell'esercizio e cioè determinare $f(Df)$.
ti riferisci al codominio della funzione "complessiva del primo post?
se è così, dovresti ottenere facilmente $[0, +oo)$ come unione delle immagini delle varie "sottofunzioni"

Un'altro particolare.. [quote="adaBTTLS"]
$"se " x<=0," "|x|= -x$ allora
$|x^2-|x|| = |x^2+x|" if "x<=0$ si divide in due parti

Ho un'altra funzione $||x|-x^2|$ per $x<=0$. Se $x≤0$, $|x|=−x$ e quindi $||x|-x^2|$=$|-x-x^2|$
Dividendo in due parti, cosa risulta?
................
${(x+x^2" if "x<-1),(-x-x^2" if "-1<=x<=0) :}$
................
E in quest'altra funzione? $||x|-1|$ per $00$ allora diventa $|x-1|$. Anche qui devo dividere in due parti?
questa nell'unico intervallo che ti interessa non cambia segno, dunque vale $-x+1$ se $0 [/quote]
controlla e facci sapere. ciao.

[elettronica.90]

Ok.. L'ultima cosa: come fai a capire quale segno mettere al valore assoluto in base a quel determinato intervallo?

[adaBTTLS1]

devi fare lo studio del segno dell'argomento, come dice la teoria-definizione di valore assoluto:
$|f(x)|={(f(x) if f(x)>=0),(-f(x) if f(x)<0) :}$
ad esempio tu avevi $|x+x^2|$, dunque preliminarmente studi il segno dell'argomento:
$x^2+x>=0 -> x<= -1 vv x>=0$, ovvero, analogamente, $x^2+x<0 -> -1 è chiaro? saresti in grado di ripetere il procedimento con altri esempi simili?