Problemi con limiti di funzione
Salve a tutti, sto facendo degli esercizi sui limiti. Ho alcuni dubbi e degli esercizi non riportano. Potete darmi una mano?
Il primo esercizio è questo:
$\lim_{x \to \0^+} sqrt(x) * sen(lnx)$
in cui mi blocco subito poiché il logaritmo di - infinito non ho idea di come si faccia.
Il secondo è questo:
$\lim_{x \to \-infty} ((sqrt(x^2-3x) +x)/(sqrt(1-x)))$
in cui ho cercato di razionalizzare moltiplicandolo per $(sqrt(1-x))/(sqrt(1-x))$ ma ancora una volta viene una forma indeterminata...
Il terzo è questo:
$\lim_{x \to \pi} ((1+cos(x))/(pi-x)^2))
in cui ho applicato De L'Hospital e quindi mi viene
$\lim_{x \to \pi} ((1-sen(x))/(0+2x-2pi)) = 1/0 = +infty
ho fatto bene?
Grazie in anticipo per la pazienza e la disponibilità.
Il primo esercizio è questo:
$\lim_{x \to \0^+} sqrt(x) * sen(lnx)$
in cui mi blocco subito poiché il logaritmo di - infinito non ho idea di come si faccia.
Il secondo è questo:
$\lim_{x \to \-infty} ((sqrt(x^2-3x) +x)/(sqrt(1-x)))$
in cui ho cercato di razionalizzare moltiplicandolo per $(sqrt(1-x))/(sqrt(1-x))$ ma ancora una volta viene una forma indeterminata...
Il terzo è questo:
$\lim_{x \to \pi} ((1+cos(x))/(pi-x)^2))
in cui ho applicato De L'Hospital e quindi mi viene
$\lim_{x \to \pi} ((1-sen(x))/(0+2x-2pi)) = 1/0 = +infty
ho fatto bene?
Grazie in anticipo per la pazienza e la disponibilità.
Risposte
Per il primo ricorda che $ sin x $ è funzione limitata e quindi...
Per il secondo moltiplica piuttosto per $ (sqrt(x^2-3x)-x)/(sqrt(x^2-3x)-x)$ ricordando che $sqrt(x^2)=|x| $.
Il terzo non va bene : quanto vale la derivata di $1$ ???
Per il secondo moltiplica piuttosto per $ (sqrt(x^2-3x)-x)/(sqrt(x^2-3x)-x)$ ricordando che $sqrt(x^2)=|x| $.
Il terzo non va bene : quanto vale la derivata di $1$ ???
Ok quindi essendo $-1<=senx<=1$ e $sqrt(x)->0$, indipendentemente dal valore del logaritmo abbiamo una funzione limitata moltiplicata per 0 che da comunque 0, giusto?
Per il secondo ho moltiplicato per quello e mi viene $(-3x)/(sqrt(x^2-4x+1)-xsqrt(1-x)) = (-3x) / (xsqrt(1-4/x+1/x^2)-xsqrt(1-x)) = (-3x) / (x(sqrt(1-4/x+1/x^2)-sqrt(1-x))) = (-3)/-infty = 0$
La derivata di una costante è zero quindi abbiamo: $(-senx)/(0+2x+2pi) = 0^-$ ?
Per il secondo ho moltiplicato per quello e mi viene $(-3x)/(sqrt(x^2-4x+1)-xsqrt(1-x)) = (-3x) / (xsqrt(1-4/x+1/x^2)-xsqrt(1-x)) = (-3x) / (x(sqrt(1-4/x+1/x^2)-sqrt(1-x))) = (-3)/-infty = 0$
La derivata di una costante è zero quindi abbiamo: $(-senx)/(0+2x+2pi) = 0^-$ ?
Primo : ok
Secondo : viene $ (-3x)/(sqrt(1-x)(|x|sqrt(1-3/x)-x)$= $(-3x)/[sqrt(1-x)(-x)(sqrt(1-3/x)+1)] =3/(sqrt(1-x)(sqrt(1-3/x)+1) $ che per $ x rightarrow -oo $ tende a $0^(+)$.
Terzo : si ottiene $(-sinx)/(-2(pi-x) ) $ ancora forma indeterminata e quindi si applica ancora L'Hopital.
Secondo : viene $ (-3x)/(sqrt(1-x)(|x|sqrt(1-3/x)-x)$= $(-3x)/[sqrt(1-x)(-x)(sqrt(1-3/x)+1)] =3/(sqrt(1-x)(sqrt(1-3/x)+1) $ che per $ x rightarrow -oo $ tende a $0^(+)$.
Terzo : si ottiene $(-sinx)/(-2(pi-x) ) $ ancora forma indeterminata e quindi si applica ancora L'Hopital.
Per il terzo
Se non vuoi ricorrere a De L'Hospital, puoi semplicemente cambiare variabile e porre $t = x - pi$.
$\lim_{x \to \pi} ((1 + cos(x))/(pi - x)^2) = \lim_{t \to 0} ((1 + cos(t + pi))/t^2)$
Per le proprietà degli archi associati... $cos(t + pi) = - cos(t)$
Il risultato è immediato.
Se non vuoi ricorrere a De L'Hospital, puoi semplicemente cambiare variabile e porre $t = x - pi$.
$\lim_{x \to \pi} ((1 + cos(x))/(pi - x)^2) = \lim_{t \to 0} ((1 + cos(t + pi))/t^2)$
Per le proprietà degli archi associati... $cos(t + pi) = - cos(t)$
Il risultato è immediato.
Grazie mille Camillo e Seneca! C'è solo una cosa che mi rimane da capire... Perché nel secondo il modulo di x diventa -x ???
Perchè $ x $ tende a $-oo $ ; e quindi $-x $ restituisce un valore positivo come deve essere il risultato di una radice quadrata aritmetica.Naturalmente se $x rarr +oo$ allora $|x|=x $.
Giusto, ora capisco. Mille grazie!
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