Problemi con le serie di funzioni

[marthy_92]

Ciao a tutti ! Nello svolgere degli esercizi sulle serie di funzioni sto avendo parecchie difficoltà.

1) Sia $ alpha in ]0, \pi/(2)[ $ provare che la serie di funzioni

$ sum =(cosx)^k/k $

converge uniformemente in $ [alpha, pi/2] $ e calcolarne la somma. Suggerimento : applicare il teorema di derivazione
per serie.

Prima ho studiato la convergenza totale stimando

$ |Fk(x)| <= 1/k $

ma $ 1/ k $ è la serie armonica che diverge quindi la serie di partenza non converge totalmente giusto?

Per applicare il teorema ho bisogno di verificare che

1) in un punto dell'intervallo $ [alpha, pi/2] $ la serie numerica $ sum =(cosx)^k/k $ sia convergente. e come punto
posso prendere $ x = pi/2 $

2) La serie delle derivate converga uniformemente in $ [alpha, pi/2] $

Ho considerato la serie delle derivate $ sum(-sinx)(cosx)^(k-1) $ . A questo punto come posso provare la convergenza uniforme? Inoltre posso studiare la serie trascurando il termine (-sinx)? la serie è fatta sia di termini positivi che negativi
Mi aiutate?

[dan952]

A me viene in mente il criterio del rapporto per facilitare le cose...
Che recita:
Se la serie ha tutti i termini diversi da zero ed esiste un numero positivo $p<1$ tale da aversi per ogni indice $k$
$$|u_{k+1}/u_k| \leq p <1$$
Allora la serie è assolutamente convergente. Se è sempre $|u_{k+1}/u_k| \geq 1$ la serie non converge.