Problemi con la sviluppabilità di una serie

[ludwigZero]

Purtroppo, malgrado lo studio della teoria, sto avendo grandi difficoltà con le serie di taylor.
Devo dimostrare la sviluppabilità di:

$1/x= 1 - (x-1) + (x-1)^2+ ...+(-1)^(n+1) (x-1)^(n-1)$ in $(0,2)$

dato che $1/x = x^-1 = x^k$ con $k= -1$ potrei vederla come una serie geometrica
cerco di trasformarla e scrivere
$1/x= 1/(1-(1-x))$
trovo il nuovo intervallo ovvero:
se $x=0$ => $1-x=1$
se $x=2$ => $1-x= -1$

quindi il libro mi dice che devo provare la convergenza nell'intervallo $(-1,1)$:
il libro dice si, ma per il teorema dell'integrale non dovrebbe divergere?
e per un $x_0$ di tale intervallo succede che per provare la sviluppabilità:
$|f^(n)(x)| <= ML^n$
oltre al fatto che tali costanti $M,L$ nel teorema non vi è alcuna restrizioni, non servono a nulla....dovrei trovare un modo se le successione delle derivate cresce al più esponenzialmente, ditemi se sbaglio...

tuttavia faccio una sostituazione di questo tipo conoscendo apriori dalla teoria la serie:
http://****/8NKQq che è sviluppabile in questo modo:
$t=1-x$
diventando:
$1/(1-t) = 1 + t + t^2 ...... = 1 + (1-x) + (1-x)^2 ..... = 1 - (x-1) + (1-x)^2.....$
ma non mi trovo con il risultato, in quanto è serie geometrica alternata....

non so se ho reso bene l'idea, se c'è qualche parte caotica ditemelo.

[Seneca1]

Sai che $1/(1 - (1 - x)) = \sum_(k=0)^(+oo) (1 - x)^k$; questa rappresentazione vale per $|x - 1| < 1$ cioè per $x \in (0, 2)$.

EDIT: $\sum_(k=0)^(+oo) (1 - x)^k = \sum_(k=0)^(+oo) (-1)^k (x - 1)^k$

[ludwigZero]

con $k=n+1$ ? o $k=n-1$ ?
perchè la serie sarebbe:
$1/x = 1 - (x-1) ...... (-1)^(n+1) (x-1)^(n-1)$
c'è qualcosa che mi sfugge :/

Inoltre: ma il teorema della sviluppabilità con le costanti $M,L$ in sostanza mi da solo la condizione sul fatto che la derivata n-esima è equilimitata, ma sti M,L non mi danno 'aiuto' in nulla? E' una curiosità che ho da tempo!