Problemi con la densità
Siano $X$ spazio metrico e le $B_\epsilon(x)$ le palle aperte
Un insieme $A$ è DENSO in $X$ se $\forall B_\epsilon(x) \subset X \ \ \ \exists y\inB_\epsilon(x)\ \ tc \ \ y\inA$
ok?
Nella dimostrazione del Teorema di Baire d'altronde si usa il fatto che se $A$ è DENSO in $X => \forall B_\epsilon(x) \subset X \ \ \ \exists U$ aperto di $X \ \ tc\ \ U\subsetA\capB_\epsilon(x)$
e questo mi pare che non sia vero, ma magari non ho capito qualcosa o mi manca qualche passaggio...
esempio: $\mathbb{Q}$ è DENSO in $\mathbb{R}$ ma non è vero che esiste un aperto di $\mathbb{R}$ contenuto in $[0,1]\cap\mathbb{Q}$, no?
Perdonatemi non sono un matematico
Un insieme $A$ è DENSO in $X$ se $\forall B_\epsilon(x) \subset X \ \ \ \exists y\inB_\epsilon(x)\ \ tc \ \ y\inA$
ok?
Nella dimostrazione del Teorema di Baire d'altronde si usa il fatto che se $A$ è DENSO in $X => \forall B_\epsilon(x) \subset X \ \ \ \exists U$ aperto di $X \ \ tc\ \ U\subsetA\capB_\epsilon(x)$
e questo mi pare che non sia vero, ma magari non ho capito qualcosa o mi manca qualche passaggio...
esempio: $\mathbb{Q}$ è DENSO in $\mathbb{R}$ ma non è vero che esiste un aperto di $\mathbb{R}$ contenuto in $[0,1]\cap\mathbb{Q}$, no?
Perdonatemi non sono un matematico
Risposte
A occhio direi anch'io che la proprietà è falsa.
Però se si aggiungono proprietà su $A$ qualcosa si tira fuori: ad esempio aggiungendo $A$ aperto la proprietà diviene vera, giacché $A\cap B_epsilon (x)$ è un aperto non vuoto.
In che versione lo stai dimostrando il lemma di Baire: "il sostegno di uno spazio metrico completo non è unione numerabile di insiemi chiusi rari" oppure forse "l'intersezione numerabile di aperti densi d'uno sp. metrico completo è non vuota e densa" (come Rudin)?
Da che libro studi?
Però se si aggiungono proprietà su $A$ qualcosa si tira fuori: ad esempio aggiungendo $A$ aperto la proprietà diviene vera, giacché $A\cap B_epsilon (x)$ è un aperto non vuoto.
In che versione lo stai dimostrando il lemma di Baire: "il sostegno di uno spazio metrico completo non è unione numerabile di insiemi chiusi rari" oppure forse "l'intersezione numerabile di aperti densi d'uno sp. metrico completo è non vuota e densa" (come Rudin)?
Da che libro studi?
Studio sugli appunti del prof. e mi appoggio su Rudin che mi sembra fatto bene, questa dimostrazione l'ho vista anche su Brezis ma diceva la stessa cosa...
Facciamo la seconda versione. "l'intersezione numerabile di aperti densi d'uno sp. metrico completo è non vuota e densa". Ma alla fine si dimostrano in maniera equivalente appoggiandosi al fatto che il complementare di un raro è denso e viceversa, no?
Aaah tu dici che siccome sono aperti e densi
Wow! Grande! hai centrato e risolto il problema al primo colpo!
Grazie degli aiuti
Facciamo la seconda versione. "l'intersezione numerabile di aperti densi d'uno sp. metrico completo è non vuota e densa". Ma alla fine si dimostrano in maniera equivalente appoggiandosi al fatto che il complementare di un raro è denso e viceversa, no?
Aaah tu dici che siccome sono aperti e densi
"Gugo82":
$A$ aperto la proprietà diviene vera, giacché $A\capB_\epsilon(x)$ è un aperto non vuoto.
Wow! Grande! hai centrato e risolto il problema al primo colpo!
Grazie degli aiuti
Lieto di essere stato d'aiuto.
Potrei sapere che esame è?
Una cosa tipo Analisi III (cioè Teoria della Misura con nozioni di base su spazi di Hilbert e Banach)? Oppure Analisi Funzionale?
Potrei sapere che esame è?
Una cosa tipo Analisi III (cioè Teoria della Misura con nozioni di base su spazi di Hilbert e Banach)? Oppure Analisi Funzionale?
Analisi Funzionale a Ingegneria, ma la teoria della misura l'ho fatta da solo perchè il prof. mi buttava lì i teoremi sugli integrali di lebesgue a lezione
e personalmente penso che non valga la pena di imparare a memoria le cose senza capirci nulla.
e personalmente penso che non valga la pena di imparare a memoria le cose senza capirci nulla.
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