Problemi con il teorema di unicità del limite di funzioni

[CaMpIoN]

Buona sera a tutti,
Sto' studiando i limiti e ho problemi con la dimostrazione del teorema di unicità del limite di una funzione.
Praticamente non capisco perché se $l$ ed $l'$ siano due limiti distinti di $f(x)$ per $x \to x_0$, allora esistono due intorni di $l$ e $l'$ disgiunti. Non capisco qual'è la corrispondenza e questo mi fa pensare che io non abbia compreso bene la definizione di limite.
Perché praticamente gli intorni si prendono disgiunti, cosa accade se non lo fossero?

[iH8u]

Sto studiando come te per l'orale, e non ti garantisco niente, ma provo a spiegartela passo per passo..

Sia quindi, $ f : A -> R e lim_(x -> x_0) f(x)=l $ e $ f(x)=l'$.

Bisogna dimostrare che $ l=m $

Per dimostrare l'unicità del limite si procede per assurdo.

Si suppone che appunto $ l $ e $ l' $ siano allora i limiti di $ f(x) $.

Allora per definizione esistono due intorni $ V $ di $ l $ e $ V' $ di $ l' $ disgiunti ( $: I nn I' = O/ $ )

Per definizione di limite, $ EE U $ e $ U' $ intorni di $ x_0 $, per cui vale:

[size=85]( def. limite per $ f:A->R $, $ lim_(x -> x_0) f(x)=l $, $ l $ è limite, se $ AA $ intorno $ U $ di $ l in R, EE $ un intorno $ V : f(x) in U $ con $ x ≠ x_0 $ in $ V nn A $)[/size]

- $ f(x) AA V, AA x in U nn A ≠ x_0$
e
- $ f(x) AA V', AA x in U' nn A ≠ x_0$

Quindi $ U nn U' $ è un'altro intorno di $ x_0 $, ed essendo $x_0$ punto di accumulazione per $ A $ quale contiene un punto $ x $ di $ A $ $ ≠x_0 $, pertanto si ha che $ f(x) $ è contemporaneamente in $ V $ e $ V' $, quali sono disgiunti, ed essendo questo assurdo perché non possibile che $ f(x) $ sia contemporaneamente in entrambi, a meno che coincidono, perciò come volevasi dimostrare è verificata la tesi.

[CaMpIoN]

Quindi praticamente dai risultati arriviamo a dire che $f(x)$ appartiene sia a $V$ che $V'$, questo perché?
Poi in tutto abbiamo dimostrato che non si possono prendere $V$ e $V'$ disgiunti? Perché la sua conseguenza è che $l=l'$?
Praticamente il risultato della dimostrazione per assurdo porterebbe al fatto che se invece di prendere $V$ e $V'$ disgiunti si prendano che hanno punti in comune allora si ottiene la definizione di limite valida, come può questo accertare l'unicità del limite?

Edit: Ok ho risolto. Praticamente quello che volevo capire è questo: Essendo $l_1$ e $l_2$ distinti per la proprietà di separazione devono esistere due loro intorni disgiunti, se ciò non si verificasse allora $l_1$ ed $l_2$ non sono distinti. Praticamente dalla definizione dei limiti arriviamo per assurdo a dire proprio che gli intorni non sono disgiunti nonostante li abbiamo presi disgiunti, quindi non esistono disgiunti, cioè $l_1$ e $l_2$ sono uguali.
Grazie mille per l'aiuto iH8u.