Problemi con gli svil. asintotici per il calcolo dei limiti
Ciao a tutti,
sono al primo anno di Matematica e sto preparando l'esame di analisi e ho problemi con i limiti e gli sviluppi asintotici.
Se per esempio io devo calcolare per x che tende a zero il limite di una somma di funzioni che mi da la forma di indecisione infinito meno infinito, posso sostituire lo sviluppo asintotico di quelle funzioni alle funzioni stesse? E il risultato che mi esce è quello giusto? Perchè a volte mi escono e a volte no. E non so sulla base di quale criterio posso sostituire le funzioni con gli sviluppi asintotici. Sui libri questa cosa non viene spiegata molto bene.
Vi prego di aiutarmi sono disperataaaaaaaaaaaaaaa!!!
sono al primo anno di Matematica e sto preparando l'esame di analisi e ho problemi con i limiti e gli sviluppi asintotici.
Se per esempio io devo calcolare per x che tende a zero il limite di una somma di funzioni che mi da la forma di indecisione infinito meno infinito, posso sostituire lo sviluppo asintotico di quelle funzioni alle funzioni stesse? E il risultato che mi esce è quello giusto? Perchè a volte mi escono e a volte no. E non so sulla base di quale criterio posso sostituire le funzioni con gli sviluppi asintotici. Sui libri questa cosa non viene spiegata molto bene.
Vi prego di aiutarmi sono disperataaaaaaaaaaaaaaa!!!
Risposte
Se il limite non viene con lo sviluppo asintotico ci sono solo due possibilità
1) hai troncato lo sviluppo troppo presto, i vari addendi devono avere un'approssimazione con lo stesso ordine di infinito/infinitesimo, ma lo stesso se tronchi troppo presto può rimanere una forma indeterminata;
2) gli sviluppi che usi non sono asintotici, ovvero il resto non è un infinito di ordine inferiore o infinitesimo di ordine superiore ai termini che utilizzi
1) hai troncato lo sviluppo troppo presto, i vari addendi devono avere un'approssimazione con lo stesso ordine di infinito/infinitesimo, ma lo stesso se tronchi troppo presto può rimanere una forma indeterminata;
2) gli sviluppi che usi non sono asintotici, ovvero il resto non è un infinito di ordine inferiore o infinitesimo di ordine superiore ai termini che utilizzi
Per esempio,il limite per x che tende a infinito di:
x(alla terza)*[tan (1/x) - sin(1/x)cos(1/x)]
come si risolve con gli sviluppi asintotici?
x(alla terza)*[tan (1/x) - sin(1/x)cos(1/x)]
come si risolve con gli sviluppi asintotici?
Per comodità di scrittura più che altro conviene porre t = 1/x, così x->+oo significa t->0
Usando i simboli di landau puoi scrivere
$tg (t) = t + (t^3)/3 + o(t^3)$
$sin (t) = t - 1/(3!) t^3 + o(t^3)$
$cos (t) = 1 - 1/2 t^2 + o(t^2)$
Quindi metti insieme e hai
$sin (t) cos (t) = [t - 1/6 t^3 + o(t^3)] [1 - 1/2 t^2 + o(t^2)] = t - 1/6 t^3 + o(t^3) - 1/2 t^3 + 1/(12) t^5 +t^2 o(t^3) + o(t^3) + t^2 o(t^3) + o(t^2) o(t^3) = t - 2/3 t^3 + o (t^3)$
guardati bene il passaggio "magico" in cui sparisce un sacco di roba, cerca di giustificare ogni termine....e se non è chiaro chiedi pure.....
In ogni caso
$(tg t - sin t cos t)/(t^3) = 1/(t^3) [t + 1/3 t^3 + o(t^3) - t + 2/3 t^3 + o(t^3)] = (t^3)/(t^3) [1 + o(1)] = [1 + o(1)]$
Cioè
$lim_(x->\infty) x^3 [tg (1/x) - sin (1/x) cos (1/x)] = lim_(t->0) (tg t - sin t cos t)/(t^3) = 1$
Usando i simboli di landau puoi scrivere
$tg (t) = t + (t^3)/3 + o(t^3)$
$sin (t) = t - 1/(3!) t^3 + o(t^3)$
$cos (t) = 1 - 1/2 t^2 + o(t^2)$
Quindi metti insieme e hai
$sin (t) cos (t) = [t - 1/6 t^3 + o(t^3)] [1 - 1/2 t^2 + o(t^2)] = t - 1/6 t^3 + o(t^3) - 1/2 t^3 + 1/(12) t^5 +t^2 o(t^3) + o(t^3) + t^2 o(t^3) + o(t^2) o(t^3) = t - 2/3 t^3 + o (t^3)$
guardati bene il passaggio "magico" in cui sparisce un sacco di roba, cerca di giustificare ogni termine....e se non è chiaro chiedi pure.....
In ogni caso
$(tg t - sin t cos t)/(t^3) = 1/(t^3) [t + 1/3 t^3 + o(t^3) - t + 2/3 t^3 + o(t^3)] = (t^3)/(t^3) [1 + o(1)] = [1 + o(1)]$
Cioè
$lim_(x->\infty) x^3 [tg (1/x) - sin (1/x) cos (1/x)] = lim_(t->0) (tg t - sin t cos t)/(t^3) = 1$
Si si ora è tutto chiaro...Grazie mille!!! Ho capito dov'è il trucco, sono gli O piccoli!! Maledetti! Quindi, se alla fine mi fosse rimasto solo un o piccolo senza nessun termine principale, voleva dire che avevo bloccato troppo presto lo sviluppo, giusto?
si....cioè....non si riescono a dare delle risposte generali su questo tipo di cose......il mio prof di analisi era solito dire che i limiti sono un'arte.....
Cmq per farti capire, nel risolvere questo limite, al primo tentativo, avevo bloccato lo sviluppo di sin x = t + o(t) e questo faceva rimanere un termine $t^3 o(t)$ che non sapevo come maneggiare.....ho usato l'ordine successivo ed è venuto. All'inizio vai a tentativi...dopo un po' ci fai l'occhio e magari ci prendi al primo colpo....magari.....
Cmq per farti capire, nel risolvere questo limite, al primo tentativo, avevo bloccato lo sviluppo di sin x = t + o(t) e questo faceva rimanere un termine $t^3 o(t)$ che non sapevo come maneggiare.....ho usato l'ordine successivo ed è venuto. All'inizio vai a tentativi...dopo un po' ci fai l'occhio e magari ci prendi al primo colpo....magari.....
Infatti non ho trovato un solo libro che mi spiegasse questa cosa. Grazie mille, comunque, gentilissimo, ora basta solo che mi esercito un po'.Ciau!
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