Problemi con gli integrali impropri
Ciao a tutti.
Sto impazzendo. Come faccio a provare se un integrale è convergente o meno? Non riesco proprio a capire la procedura.
Una volta utilizzato il criterio del confronto asintototico, devo integrare la funzione asintoticamente equivalente alla funzione integranda di partenza e poi fare il limite?
Vi prego aiutatemi perchè non so davvero più dove sbattere la testa.
Sto impazzendo. Come faccio a provare se un integrale è convergente o meno? Non riesco proprio a capire la procedura.
Una volta utilizzato il criterio del confronto asintototico, devo integrare la funzione asintoticamente equivalente alla funzione integranda di partenza e poi fare il limite?
Vi prego aiutatemi perchè non so davvero più dove sbattere la testa.
Risposte
Facciamo qualche esempio. Premetto alcuni fatti noti. L'integrale è definito per le funzioni continue in un compatto $[a, b],$ e dunque limitate. Si presenta la necessità sia pratica che teorica, di considerare integrali anche per le funzioni non continue. Consideriamo delle funzioni generalmente continue in $[a, b],$ cioè delle funzioni che in $[a, b],$ sono dotate di un numero finito di punti di discontinuità.
Cominciamo con il considerare una funzione $f(x)$ che sia continua nell'intervallo aperto a destra $[a, b),$ e sia $ \lim_{x \to b^-}f(x)=+\infty.$ Poichè $f$ è continua in ogni intervallo $[a,\varepsilon],$ con $a\le \varepsilon
\int _{a}^{b-\varepsilon} f(x)\,\,dx
\end{align*}
per ogni $\varepsilon>0.$ Dunque se esiste finito il limite $ \lim_{\varepsilon \to 0^+}\int _{a}^{b-\varepsilon} f(x) dx$ si dice che la funzione $f(x)$ ha integrale improprio convergente nell'intervallo $[a,b],$ e per definizione si pone :
\begin{align*}
\int _{a}^{b } f(x)\,\,dx=\lim_{\varepsilon \to 0^+}\int _{a}^{b-\varepsilon} f(x)\,\,dx.
\end{align*}
Consideriamo il seguente esempio fondamentale:
\begin{align*}
\int_0^1 \frac{1}{ x^{\alpha}},\quad\alpha>0;
\end{align*}
osserviamo subito che la funzione integranda $f(x)= 1/ x^{\alpha}$ è definita per tutti i valori di $x$ tali che $ x\ne0,$ perchè stiamo considerando l'intervallo di integrazione $[0,1],$ in cui $x>0,$ altrimenti sarebbe stato necessario considerare il valore assoluto di $x$ non essendo possibile eseguire l'elevamento a potenza reale di un numero negativo; allora per definizione, avremo:
\begin{align*}
\int _{0}^{1 }\frac{1}{ x^{\alpha}}\,\,dx&=\lim_{\varepsilon \to 0^+}\int _{\varepsilon}^{1} \frac{1}{ x^{\alpha}}\,\,dx= \begin{cases} \displaystyle\lim_{\varepsilon \to 0^+} \left[\ln x\right]_{\varepsilon}^{1}= \lim_{\varepsilon \to 0^+} \left[\ln 1-\ln (\varepsilon) \right]=-(-\infty)=+\infty, & \mbox{se }\,\,\alpha=1, \\\\ \displaystyle\lim_{\varepsilon \to 0^+} \left[\frac{x^{1-\alpha }}{1-\alpha }\right]_{\varepsilon}^{1}=\lim_{\varepsilon \to 0^+} \left[\frac{1^{1-\alpha }}{1-\alpha }-\frac{(\varepsilon)^{1-\alpha }}{1-\alpha }\right]= \frac{1}{1-\alpha } & \mbox{se }\,\,\alpha<1, \\\\
\displaystyle\lim_{\varepsilon \to 0^+} \left[\frac{x^{1-\alpha }}{\alpha+1}\right]_{\varepsilon}^{1}=\lim_{\varepsilon \to 0^+} \left[\frac{1^{1-\alpha }}{1-\alpha }-\frac{(\varepsilon)^{1-\alpha }}{1-\alpha }\right]= +\infty & \mbox{se }\,\,\alpha>1 ;
\end{cases}
\end{align*}
dunque la funzione $f(x)=1/ x^{\alpha}$ è integrabile in senso improprio in $[0,1]$ se $\alpha<1.$ Consideriamo ora intervalli non limitati. Sia $f:[a;+\infty)\to \RR$ integrabile in ogni intervallo $[a;\delta]$ con $a\le\delta,$
e poniamo
\begin{align*}
J(\delta)=\int _{a}^{\delta}f(x)\,\,dx,\quad\text{se esiste il limite finito:}\quad \lim_{\delta \to +\infty} J(\delta) =\int _{a}^{+\infty}f(x)\,\,dx ;
\end{align*}
la funzione si dirà integrabile in senso improprio sull'intervallo $[a;+\infty).$
Per l'integrale da $-\infty$ a $+\infty$ di una funzione $f:\RR\to \RR,$ integrabile su ogni intervallo limitato, si pone
\begin{align*}
\int _{-\infty}^{+\infty}f(x)\,\,dx=\int _{-\infty}^{c}f(x)\,\,dx+\int _{c}^{+\infty}f(x)\,\,dx ;
\end{align*}
se $c$ è un qualsiasi numero reale e gli integrali impropri a secondo membro sono convergenti. Consideriamo la funzione dell'esempio fondamentale precedente sull'intervallo $[1;+\infty):$
\begin{align*}
\int_1^{+\infty} \frac{1}{ x^{\alpha}},\quad\alpha>0;
\end{align*}
osserviamo subito che la funzione integranda $f(x)= 1/x^{\alpha}$ è definita per tutti i valori dell'intervallo di integrazione, e dunque presenta singolarità solo in un intorno di ${+\infty};$ allora avremo per definizione:
\begin{align*}
\int _{1}^{+\infty}\frac{1}{ x^{\alpha}}\,\,dx&=\lim_{\delta \to +\infty}\int _{1}^{\delta} \frac{1}{ x^{\alpha}}\,\,dx= \begin{cases} \displaystyle\lim_{\delta \to +\infty} \left[\ln x\right]_{1}^{\delta}= \lim_{\delta \to +\infty} \left[\ln \delta-\ln 1 \right]= +\infty, & \mbox{se }\,\,\alpha=1, \\\\ \displaystyle\lim_{\delta \to +\infty} \left[\frac{x^{1-\alpha }}{1-\alpha }\right]_{1}^{\delta}=\lim_{\delta \to +\infty} \left[\frac{{\delta}^{1-\alpha }}{1-\alpha }-\frac{1}{1-\alpha }\right]= +\infty & \mbox{se }\,\,\alpha<1, \\\\
\displaystyle\lim_{\delta \to +\infty} \left[\frac{x^{1-\alpha }}{1-\alpha }\right]_{1}^{\delta}=\lim_{\delta \to +\infty} \left[\frac{{\delta}^{1-\alpha }}{1-\alpha }-\frac{1}{1-\alpha }\right]= \frac{1}{1-\alpha }& \mbox{se }\,\,\alpha>1;
\end{cases}
\end{align*}
dunque la funzione $f(x)=1/ x^{\alpha}$ è integrabile in senso improprio in $[1,+\infty)$ se $\alpha>1.$
I due esempi fondamentali precedenti mettono in evidenza il fatto che se siamo in grado di calcolare l'integrale, ovvero se siamo in grado di trovare una primitiva della funzione integranda e quindi farne il limite, le cose non creano particolari problemi; tuttavia, nella maggior parte dei casi la ricerca delle primitive di una una funzione non è sempre possibile, e quindi nasce l'eseigenza di cercare dei criteri che permettano di stabilre se un integrale improprio risulta convergente o divergente. In tal caso valgono i seguenti criteri:
Dimostrazione.
Consideriamo ad esempio il seguente integrale:
\begin{align*}
\int_{0}^{1}\,\, \frac{\cos x +3 }{\sqrt x}\,\,dx;
\end{align*}
evidentemente la fuznione integranda risulta definita per ogni valore $x\ne0,$ e quindi l'integrale presenta una singolarità nell'estremo inferiore dell'intervallo di integrazione; inoltre si osserva che nell'intervallo $(0;1]$ il denominatore è senz'altro positivo, così come lo è il numeratore, essendo $2<\cos x +3<4;$ allora possiamo applicare il confronto:
\begin{align*}
\frac{\cos x +3 }{x^{2}+\sqrt x}<\frac{4 }{\sqrt x}=\frac{4 }{ x^{1/2}},
\end{align*}
ed essendo la potenza $1/2<1,$ possiamo concludere che l'integrale converge. I criterio del confronto per gli integrali impropri si usa il più delle volte nella forma seguente, che discende dal precedente:
Ad esempio, consideriamo il seguente integrale:
\begin{align*}
\int_{2}^{+\infty} \frac{1}{(x+2)^{ \frac{3}{2}}}\cdot\ln\left(\frac{x+3}{x+2}\right) \,\,dx;
\end{align*}
la funzione integranda è definita per ogni $x> -2;$ quindi l'integrale nell' intervallo $(2,+\infty)$ risulta improprio in un intorno di $+\infty;$ considerando il comportamento asintotico quando $x\to+\infty,$ si ha:
\begin{align*}
\frac{1}{(x+2)^{ \frac{3}{2}}}\cdot\ln\left(\frac{x+3}{x+2}\right)\sim\frac{1}{ x ^{ \frac{3}{2}}}\cdot \left(\frac{x+3}{x+2}-1\right)=\frac{1}{ x ^{ \frac{5}{2}}},
\end{align*}
ed essendo la potenza $5/2>1,$ possiamo concludere che l'integrale converge.
Come nel caso delle serie, anche per gli integrali il teorema del confronto vale se la funzione integranda non cambia segno nell'intervallo d'integrazione considerato; nel caso in cui ciò dovesse avvenire, vale il seguente criterio:
Dimostrazione.
E' importante notare che, al contrario di quanto accade per l'integrale di Riemann, cioè di una funzione limitata, l'integrabilità di $f$ non implica quella di $|f|.$ Come le serie, gli integrali impropri possono essere convergenti, ma non assolutamente convergenti, cioè può esistere $\int f$ ma non $\int|f|.$ Consideriamo ad esempio il seguente integrale:
\begin{align*}
\int_{2}^{+\infty} \frac{\sin x }{x^{\frac{9}{4}} }\,\,dx;
\end{align*}
la funzione integranda è definita per $x\ne0,$ e dunque nell'intervallo $[2;+\infty),$ l'integrale risulta improprio in un intorno di $+\infty;$ inoltre si osserva che la funzione risulta positiva per $k\pi\le x \le \pi+k\pi,$ mentre risulta negativa per $\pi+k\pi\le x \le2\pi+k\pi:$ allora non è di segno costante per $x\ge2;$ in questo caso dobbiamo considerare la convergenza assoluta quand $x\to +\infty:$
\begin{align*}
\left|\frac{\sin x }{x^{\frac{9}{4}} }\right|= \frac{|\sin x| }{x^{\frac{9}{4}} }\le \frac{1}{x^{\frac{9}{4}} } ,
\end{align*}
ed essendo la potenza $9/4>1,$ possiamo concludere che l'integrale converge assolutamente. Consideriamo invece l'integrale
\begin{align*}
\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x }{x^{n} }\,\,dx,
\end{align*}
con $0
\left|\frac{\sin x }{x^{n} }\right|=\frac{\left|\sin x \right|}{x^{n} }<\frac{1}{x^{n}},
\end{align*}
ed essendo $0
si vede che il valore dell'integrale $A$ sarà dato da:
\begin{align*}
A=a_1-a_2+a_3-a_4+a_5-....,
\end{align*}
ossia dalla la somma di infiniti addendi, a segni alterni, cioè è una serie numerica di tipo Leibniz:
\begin{align*}
A=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^na_n;
\end{align*}
la convergenza della serie è assicurata dal fatto che il termine $n-$esimo è infinitesimo, cioè il valore dell'area di ogni intervallino tende a zero, e ogni termine in valore assoluto è minore del precedente: per rendersi conto di ciò, basta osservare che ogni intervallo ha lunghezza pari a $\pi$ ed un'altezza che via via diminuisce, dunque i valori $a_n$ delle aree sono decrescenti: essendo verificate le ipotesi del criterio di Leibniz per le serie, possiamo concludere che l'integrale risulta convergente, ma non assolutamente convergente.
Cominciamo con il considerare una funzione $f(x)$ che sia continua nell'intervallo aperto a destra $[a, b),$ e sia $ \lim_{x \to b^-}f(x)=+\infty.$ Poichè $f$ è continua in ogni intervallo $[a,\varepsilon],$ con $a\le \varepsilon
\int _{a}^{b-\varepsilon} f(x)\,\,dx
\end{align*}
per ogni $\varepsilon>0.$ Dunque se esiste finito il limite $ \lim_{\varepsilon \to 0^+}\int _{a}^{b-\varepsilon} f(x) dx$ si dice che la funzione $f(x)$ ha integrale improprio convergente nell'intervallo $[a,b],$ e per definizione si pone :
\begin{align*}
\int _{a}^{b } f(x)\,\,dx=\lim_{\varepsilon \to 0^+}\int _{a}^{b-\varepsilon} f(x)\,\,dx.
\end{align*}
Consideriamo il seguente esempio fondamentale:
\begin{align*}
\int_0^1 \frac{1}{ x^{\alpha}},\quad\alpha>0;
\end{align*}
osserviamo subito che la funzione integranda $f(x)= 1/ x^{\alpha}$ è definita per tutti i valori di $x$ tali che $ x\ne0,$ perchè stiamo considerando l'intervallo di integrazione $[0,1],$ in cui $x>0,$ altrimenti sarebbe stato necessario considerare il valore assoluto di $x$ non essendo possibile eseguire l'elevamento a potenza reale di un numero negativo; allora per definizione, avremo:
\begin{align*}
\int _{0}^{1 }\frac{1}{ x^{\alpha}}\,\,dx&=\lim_{\varepsilon \to 0^+}\int _{\varepsilon}^{1} \frac{1}{ x^{\alpha}}\,\,dx= \begin{cases} \displaystyle\lim_{\varepsilon \to 0^+} \left[\ln x\right]_{\varepsilon}^{1}= \lim_{\varepsilon \to 0^+} \left[\ln 1-\ln (\varepsilon) \right]=-(-\infty)=+\infty, & \mbox{se }\,\,\alpha=1, \\\\ \displaystyle\lim_{\varepsilon \to 0^+} \left[\frac{x^{1-\alpha }}{1-\alpha }\right]_{\varepsilon}^{1}=\lim_{\varepsilon \to 0^+} \left[\frac{1^{1-\alpha }}{1-\alpha }-\frac{(\varepsilon)^{1-\alpha }}{1-\alpha }\right]= \frac{1}{1-\alpha } & \mbox{se }\,\,\alpha<1, \\\\
\displaystyle\lim_{\varepsilon \to 0^+} \left[\frac{x^{1-\alpha }}{\alpha+1}\right]_{\varepsilon}^{1}=\lim_{\varepsilon \to 0^+} \left[\frac{1^{1-\alpha }}{1-\alpha }-\frac{(\varepsilon)^{1-\alpha }}{1-\alpha }\right]= +\infty & \mbox{se }\,\,\alpha>1 ;
\end{cases}
\end{align*}
dunque la funzione $f(x)=1/ x^{\alpha}$ è integrabile in senso improprio in $[0,1]$ se $\alpha<1.$ Consideriamo ora intervalli non limitati. Sia $f:[a;+\infty)\to \RR$ integrabile in ogni intervallo $[a;\delta]$ con $a\le\delta,$
e poniamo
\begin{align*}
J(\delta)=\int _{a}^{\delta}f(x)\,\,dx,\quad\text{se esiste il limite finito:}\quad \lim_{\delta \to +\infty} J(\delta) =\int _{a}^{+\infty}f(x)\,\,dx ;
\end{align*}
la funzione si dirà integrabile in senso improprio sull'intervallo $[a;+\infty).$
Per l'integrale da $-\infty$ a $+\infty$ di una funzione $f:\RR\to \RR,$ integrabile su ogni intervallo limitato, si pone
\begin{align*}
\int _{-\infty}^{+\infty}f(x)\,\,dx=\int _{-\infty}^{c}f(x)\,\,dx+\int _{c}^{+\infty}f(x)\,\,dx ;
\end{align*}
se $c$ è un qualsiasi numero reale e gli integrali impropri a secondo membro sono convergenti. Consideriamo la funzione dell'esempio fondamentale precedente sull'intervallo $[1;+\infty):$
\begin{align*}
\int_1^{+\infty} \frac{1}{ x^{\alpha}},\quad\alpha>0;
\end{align*}
osserviamo subito che la funzione integranda $f(x)= 1/x^{\alpha}$ è definita per tutti i valori dell'intervallo di integrazione, e dunque presenta singolarità solo in un intorno di ${+\infty};$ allora avremo per definizione:
\begin{align*}
\int _{1}^{+\infty}\frac{1}{ x^{\alpha}}\,\,dx&=\lim_{\delta \to +\infty}\int _{1}^{\delta} \frac{1}{ x^{\alpha}}\,\,dx= \begin{cases} \displaystyle\lim_{\delta \to +\infty} \left[\ln x\right]_{1}^{\delta}= \lim_{\delta \to +\infty} \left[\ln \delta-\ln 1 \right]= +\infty, & \mbox{se }\,\,\alpha=1, \\\\ \displaystyle\lim_{\delta \to +\infty} \left[\frac{x^{1-\alpha }}{1-\alpha }\right]_{1}^{\delta}=\lim_{\delta \to +\infty} \left[\frac{{\delta}^{1-\alpha }}{1-\alpha }-\frac{1}{1-\alpha }\right]= +\infty & \mbox{se }\,\,\alpha<1, \\\\
\displaystyle\lim_{\delta \to +\infty} \left[\frac{x^{1-\alpha }}{1-\alpha }\right]_{1}^{\delta}=\lim_{\delta \to +\infty} \left[\frac{{\delta}^{1-\alpha }}{1-\alpha }-\frac{1}{1-\alpha }\right]= \frac{1}{1-\alpha }& \mbox{se }\,\,\alpha>1;
\end{cases}
\end{align*}
dunque la funzione $f(x)=1/ x^{\alpha}$ è integrabile in senso improprio in $[1,+\infty)$ se $\alpha>1.$
I due esempi fondamentali precedenti mettono in evidenza il fatto che se siamo in grado di calcolare l'integrale, ovvero se siamo in grado di trovare una primitiva della funzione integranda e quindi farne il limite, le cose non creano particolari problemi; tuttavia, nella maggior parte dei casi la ricerca delle primitive di una una funzione non è sempre possibile, e quindi nasce l'eseigenza di cercare dei criteri che permettano di stabilre se un integrale improprio risulta convergente o divergente. In tal caso valgono i seguenti criteri:
Criterio del confronto
Siano $f,g$ due funzioni definite in $[a,+\infty)$ e integrabili in ogni intervallo limitato $[a,\delta],$ con $a\le\delta;$ supponiamo che esista un $x_0\ge a$ tale che, per ogni $x\ge x_0$ si abbia:
\begin{align*}
0\le f(x)\le g(x).
\end{align*}
Allora, se $g(x)$ è integrabile in $[a,+\infty),$ lo è anche $f(x).$
Dimostrazione.
Consideriamo ad esempio il seguente integrale:
\begin{align*}
\int_{0}^{1}\,\, \frac{\cos x +3 }{\sqrt x}\,\,dx;
\end{align*}
evidentemente la fuznione integranda risulta definita per ogni valore $x\ne0,$ e quindi l'integrale presenta una singolarità nell'estremo inferiore dell'intervallo di integrazione; inoltre si osserva che nell'intervallo $(0;1]$ il denominatore è senz'altro positivo, così come lo è il numeratore, essendo $2<\cos x +3<4;$ allora possiamo applicare il confronto:
\begin{align*}
\frac{\cos x +3 }{x^{2}+\sqrt x}<\frac{4 }{\sqrt x}=\frac{4 }{ x^{1/2}},
\end{align*}
ed essendo la potenza $1/2<1,$ possiamo concludere che l'integrale converge. I criterio del confronto per gli integrali impropri si usa il più delle volte nella forma seguente, che discende dal precedente:
Criterio del confronto asintotico
Siano $f,g:[a,b)\to\R$ due funzioni positive definite in un intorno di $b$ e tali che
\begin{align*}
f\sim g,\qquad x\to b^-.
\end{align*}
Allora $f$ è integrabile in senso improrio su $[a,b)$ se e solo se lo è anche $g.$
Ad esempio, consideriamo il seguente integrale:
\begin{align*}
\int_{2}^{+\infty} \frac{1}{(x+2)^{ \frac{3}{2}}}\cdot\ln\left(\frac{x+3}{x+2}\right) \,\,dx;
\end{align*}
la funzione integranda è definita per ogni $x> -2;$ quindi l'integrale nell' intervallo $(2,+\infty)$ risulta improprio in un intorno di $+\infty;$ considerando il comportamento asintotico quando $x\to+\infty,$ si ha:
\begin{align*}
\frac{1}{(x+2)^{ \frac{3}{2}}}\cdot\ln\left(\frac{x+3}{x+2}\right)\sim\frac{1}{ x ^{ \frac{3}{2}}}\cdot \left(\frac{x+3}{x+2}-1\right)=\frac{1}{ x ^{ \frac{5}{2}}},
\end{align*}
ed essendo la potenza $5/2>1,$ possiamo concludere che l'integrale converge.
Come nel caso delle serie, anche per gli integrali il teorema del confronto vale se la funzione integranda non cambia segno nell'intervallo d'integrazione considerato; nel caso in cui ciò dovesse avvenire, vale il seguente criterio:
Criterio della convergenza assoluta
Sia $f$ una funzione definita in $[a,+\infty)$ e integrabile in $[a,\delta],\forall \delta \in \R;$ se accade che $|f(x)|$ è integrabile in $[a,+\infty),$ allora anche $f(x)$ è integrabile in $[a,+\infty),$ e risulta:
\begin{align*}
\left|\int_a^{+\infty} f(x)\,\,dx \right| \le\int_a^{+\infty} \left|f(x)\right| \,\,dx
\end{align*}
Dimostrazione.
E' importante notare che, al contrario di quanto accade per l'integrale di Riemann, cioè di una funzione limitata, l'integrabilità di $f$ non implica quella di $|f|.$ Come le serie, gli integrali impropri possono essere convergenti, ma non assolutamente convergenti, cioè può esistere $\int f$ ma non $\int|f|.$ Consideriamo ad esempio il seguente integrale:
\begin{align*}
\int_{2}^{+\infty} \frac{\sin x }{x^{\frac{9}{4}} }\,\,dx;
\end{align*}
la funzione integranda è definita per $x\ne0,$ e dunque nell'intervallo $[2;+\infty),$ l'integrale risulta improprio in un intorno di $+\infty;$ inoltre si osserva che la funzione risulta positiva per $k\pi\le x \le \pi+k\pi,$ mentre risulta negativa per $\pi+k\pi\le x \le2\pi+k\pi:$ allora non è di segno costante per $x\ge2;$ in questo caso dobbiamo considerare la convergenza assoluta quand $x\to +\infty:$
\begin{align*}
\left|\frac{\sin x }{x^{\frac{9}{4}} }\right|= \frac{|\sin x| }{x^{\frac{9}{4}} }\le \frac{1}{x^{\frac{9}{4}} } ,
\end{align*}
ed essendo la potenza $9/4>1,$ possiamo concludere che l'integrale converge assolutamente. Consideriamo invece l'integrale
\begin{align*}
\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x }{x^{n} }\,\,dx,
\end{align*}
con $0
\left|\frac{\sin x }{x^{n} }\right|=\frac{\left|\sin x \right|}{x^{n} }<\frac{1}{x^{n}},
\end{align*}
ed essendo $0
si vede che il valore dell'integrale $A$ sarà dato da:
\begin{align*}
A=a_1-a_2+a_3-a_4+a_5-....,
\end{align*}
ossia dalla la somma di infiniti addendi, a segni alterni, cioè è una serie numerica di tipo Leibniz:
\begin{align*}
A=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^na_n;
\end{align*}
la convergenza della serie è assicurata dal fatto che il termine $n-$esimo è infinitesimo, cioè il valore dell'area di ogni intervallino tende a zero, e ogni termine in valore assoluto è minore del precedente: per rendersi conto di ciò, basta osservare che ogni intervallo ha lunghezza pari a $\pi$ ed un'altezza che via via diminuisce, dunque i valori $a_n$ delle aree sono decrescenti: essendo verificate le ipotesi del criterio di Leibniz per le serie, possiamo concludere che l'integrale risulta convergente, ma non assolutamente convergente.
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