Problemi con gli integrali
salve a tutti, ho qualche problemino con la risoluzione di un integrale e un esame alle porte, potreste risolvere i miei dubbi?
$\int x/(sqrt(2*x^2+x+1)) dx$
arrivati alla forma $sqrt{2*x^2+x+1}/2-1/sqrt{14}*\int dx/sqrt{(4/7*(x+1/4))^2+1}$ il passaggio successivo negli appunti è $sqrt{2*x^2+x+1}/2-1/(4*sqrt{2})*\int (4/7*dx)/((4/7*(x+1/4))^2+1)$ e l'integrale risulta quindi $ln (4/7*(x+1/4)+sqrt{(4/7*(x+1/4))^2+1})$
Questo passaggio però non mi è tanto chiaro, non capisco perchè scompare la radice e come si arriva al logaritmo...
$\int x/(sqrt(2*x^2+x+1)) dx$
arrivati alla forma $sqrt{2*x^2+x+1}/2-1/sqrt{14}*\int dx/sqrt{(4/7*(x+1/4))^2+1}$ il passaggio successivo negli appunti è $sqrt{2*x^2+x+1}/2-1/(4*sqrt{2})*\int (4/7*dx)/((4/7*(x+1/4))^2+1)$ e l'integrale risulta quindi $ln (4/7*(x+1/4)+sqrt{(4/7*(x+1/4))^2+1})$
Questo passaggio però non mi è tanto chiaro, non capisco perchè scompare la radice e come si arriva al logaritmo...
Risposte
l'integrale risulta il logaritmo di quello che hai scritto tu però +$(2x^2+x+1)^(1/2)/2$.. questa radice rimane nel risultato dell'integrale. era questo che intendevi?
quello che non capisco è questo passaggio
$sqrt{2*x^2+x+1}/2-1/sqrt{14}*\int dx/sqrt{(4/7*(x+1/4))^2+1}= sqrt{2*x^2+x+1}/2-1/(4*sqrt{2})*\int (4/7*dx)/((4/7*(x+1/4))^2+1)$ perchè la radice al denominatore non c'è più?
$ln (4/7*(x+1/4)+sqrt{(4/7*(x+1/4))^2+1})$ è la primitiva del solo integrale (non ho ricopiato volutamente la prima parte dell'esercizio perchè già risolta) ed anche questa non me la spiego bene
$sqrt{2*x^2+x+1}/2-1/sqrt{14}*\int dx/sqrt{(4/7*(x+1/4))^2+1}= sqrt{2*x^2+x+1}/2-1/(4*sqrt{2})*\int (4/7*dx)/((4/7*(x+1/4))^2+1)$ perchè la radice al denominatore non c'è più?
$ln (4/7*(x+1/4)+sqrt{(4/7*(x+1/4))^2+1})$ è la primitiva del solo integrale (non ho ricopiato volutamente la prima parte dell'esercizio perchè già risolta) ed anche questa non me la spiego bene
A me risulta:
$int x/(sqrt(2*x^2+x+1)) dx = 1/4 * int (d(2*x^2+x+1))/(sqrt(2*x^2+x+1)) - 1/4*int (dx)/(sqrt(2*x^2+x+1)) =1/4 * ln(sqrt(2*x^2+x+1)) - 1/4 * int (dx)/(sqrt(2*x^2+x+1)) $
Da qui poi la seconda parte...
$int x/(sqrt(2*x^2+x+1)) dx = 1/4 * int (d(2*x^2+x+1))/(sqrt(2*x^2+x+1)) - 1/4*int (dx)/(sqrt(2*x^2+x+1)) =1/4 * ln(sqrt(2*x^2+x+1)) - 1/4 * int (dx)/(sqrt(2*x^2+x+1)) $
Da qui poi la seconda parte...
Lo sviluppo dell'integrale è questo:
$\int x/sqrt{2*x^2+x+1} dx= 1/4*\int (4*x+1)/sqrt{2*x^2+x+1} dx -1/4*\int dx/sqrt{2*x^2+x+1} = 1/4*\int (2*x^2+x+1)^(-1/2)-1/4*\int dx/sqrt{2*x^2+x+1}= sqrt{2*x^2+x+1}/2- 1/4*\int dx/sqrt{(4/sqrt{7}*(x+1/4))^2+1}$ e a questo punto scompare la radice al denominatore (e non capisco perchè)
$\int x/sqrt{2*x^2+x+1} dx= 1/4*\int (4*x+1)/sqrt{2*x^2+x+1} dx -1/4*\int dx/sqrt{2*x^2+x+1} = 1/4*\int (2*x^2+x+1)^(-1/2)-1/4*\int dx/sqrt{2*x^2+x+1}= sqrt{2*x^2+x+1}/2- 1/4*\int dx/sqrt{(4/sqrt{7}*(x+1/4))^2+1}$ e a questo punto scompare la radice al denominatore (e non capisco perchè)
Guarda..ti dico come l'ho risolto io..spero di non aver fatto errori. La prima parte è giusta,poi hai $intdx/sqrt(2x^2+x+1)$.
Consideriamo $(sqrt2x+1/(2sqrt2))^2$. viene uguale a $2x^2+x+1/8$. ora,per avere la nostra funzione di partenza,dobbiamo sommare $7/8$. Quindi l'integrale si può riscrivere come $intdx/sqrt[(sqrt2x+1/(2sqrt2))^2+7/8$. moltiplichiamo per $sqrt2$ ed otteniamo $1/sqrt2intsqrt2/sqrt[(sqrt2x+1/(2sqrt2))^2+7/8dx$. Ricordando la formula $int[f'(x)]/sqrt[f(x)^2+a^2 $$=arcsenf(x)/|a|+c$ otteniamo che è uguale a $arcsen2sqrt2[sqrt2x+1/(2sqrt2)]/sqrt7+c$. Che semplificando risulta $arcsen(4x+1)/sqrt7+c$
Consideriamo $(sqrt2x+1/(2sqrt2))^2$. viene uguale a $2x^2+x+1/8$. ora,per avere la nostra funzione di partenza,dobbiamo sommare $7/8$. Quindi l'integrale si può riscrivere come $intdx/sqrt[(sqrt2x+1/(2sqrt2))^2+7/8$. moltiplichiamo per $sqrt2$ ed otteniamo $1/sqrt2intsqrt2/sqrt[(sqrt2x+1/(2sqrt2))^2+7/8dx$. Ricordando la formula $int[f'(x)]/sqrt[f(x)^2+a^2 $$=arcsenf(x)/|a|+c$ otteniamo che è uguale a $arcsen2sqrt2[sqrt2x+1/(2sqrt2)]/sqrt7+c$. Che semplificando risulta $arcsen(4x+1)/sqrt7+c$
anche io avrei fatto in questo modo, ma lo svolgimento che ho scritto sopra l'ho preso dalle dispense del professore, in teoria dovrebbe essere giusto come lo ha fatto lui, ma non capisco come ci si arrivi
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