Problemi con gli estremi di integrazione per integrali tripli
Questo è il mio primo post su questo forum e spero di riuscire a scrivere per bene le formule confido in una vostra risposta.
Il problema che mi trovo ad affrontare è in merito a determinare gli estremi di integrazione per il calcolo di integrali tripli come ad esempio
$ int_(A)(x^2+y^2+z^2) dx dy dz $
Dove A: $
A= {(x,y,z)in R^3| x^2+y^2+z^2<=1 , 0<=z<=sqrt(x^2+y^2)} $
Ora, facendo le proiezioni sui tre piani xy, xz, yz mi rendo conto (cosa che per altro si vedeva dalle equazioni) che l'insieme è intersezione tra una sfera e un cono con vertice in (0,0,0).
La mia idea era quella di passare alle coordinate cilindriche cosi da poter riscrivere l'insieme A e avere
$ rho ^2+z^2<=1 $
$ 0<=z<=rho $
$ 0<=vartheta<=2pi $
come faccio a stabilire entro quali valori varia la mia z? (oppure c'è un metodo di risoluzione migliore?) mi rendo conto che una volta risolto quel tipo di problema l'integrale è facile da risolvere.
Questo è un problema che ho con molti integrali per il fatto che non ho trovato metodi univoci per determinare gli estremi di integrazione e non mi è stata fornita nessuna idea di base sulla loro determinazione.
Ringrazio in anticipo per la disponibilità
Il problema che mi trovo ad affrontare è in merito a determinare gli estremi di integrazione per il calcolo di integrali tripli come ad esempio
$ int_(A)(x^2+y^2+z^2) dx dy dz $
Dove A: $
A= {(x,y,z)in R^3| x^2+y^2+z^2<=1 , 0<=z<=sqrt(x^2+y^2)} $
Ora, facendo le proiezioni sui tre piani xy, xz, yz mi rendo conto (cosa che per altro si vedeva dalle equazioni) che l'insieme è intersezione tra una sfera e un cono con vertice in (0,0,0).
La mia idea era quella di passare alle coordinate cilindriche cosi da poter riscrivere l'insieme A e avere
$ rho ^2+z^2<=1 $
$ 0<=z<=rho $
$ 0<=vartheta<=2pi $
come faccio a stabilire entro quali valori varia la mia z? (oppure c'è un metodo di risoluzione migliore?) mi rendo conto che una volta risolto quel tipo di problema l'integrale è facile da risolvere.
Questo è un problema che ho con molti integrali per il fatto che non ho trovato metodi univoci per determinare gli estremi di integrazione e non mi è stata fornita nessuna idea di base sulla loro determinazione.
Ringrazio in anticipo per la disponibilità
Risposte
mettendo a sistema l'equazione del cono con quella della sfera si ottiene $x^2+y^2=1/2$
quindi ,io direi che si debbano risolvere 2 integrali separati
1)$theta in [0,2pi];rho in [0,(sqrt2)/2];z in [0,rho]$
2)$theta in [0,2pi];rho in [(sqrt2)/2,1];z in [0,sqrt(1-rho^2)]$
quindi ,io direi che si debbano risolvere 2 integrali separati
1)$theta in [0,2pi];rho in [0,(sqrt2)/2];z in [0,rho]$
2)$theta in [0,2pi];rho in [(sqrt2)/2,1];z in [0,sqrt(1-rho^2)]$
"stormy":
mettendo a sistema l'equazione del cono con quella della sfera si ottiene $x^2+y^2=1/2$
quindi ,io direi che si debbano risolvere 2 integrali separati
1)$theta in [0,2pi];rho in [0,(sqrt2)/2];z in [0,rho]$
2)$theta in [0,2pi];rho in [(sqrt2)/2,1];z in [0,sqrt(1-rho^2)]$
Ecco, in base a cosa hai capito che vanno risolti due integrali separati? Sono proprio questi ragionamenti che mi mancano e non riesco a trovare su internet da nessuna parte delle spiegazioni
proiettando per semplicità nel piano yz ho visto che z in corrispondenza del primo integrale parte da 0 e incontra prima il cono
nel secondo integrale il cono sta al di sopra della sfera
nel secondo integrale il cono sta al di sopra della sfera
allora provo a dirti quello che ho capito dalla tua spiegazione:
dalla proiezione su yz vedo che prima dell'intersezione tra cono e sfera ho che z varia tra 0 e $ sqrt(x^2+y^2) $ mentre dopo non mi è chiaro come mai z riparta da 0, forse perche facendo partire $ rho $ da $ sqrt(2)/2 $ rispetto a quel punto z=0? spero di essermi spiegato
dalla proiezione su yz vedo che prima dell'intersezione tra cono e sfera ho che z varia tra 0 e $ sqrt(x^2+y^2) $ mentre dopo non mi è chiaro come mai z riparta da 0, forse perche facendo partire $ rho $ da $ sqrt(2)/2 $ rispetto a quel punto z=0? spero di essermi spiegato
la z parte sempre da zero,indipendentemente da chi sia il vincolo superiore
basta vedere come è definito A
basta vedere come è definito A
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