Problemi con differenziali
Buongiorno, non riesco a capire il metodo di risoluti di problemi del tipo:
"Il tempo di dimezzamento di un isotopo radioattivo dello zinco è di 2,4 minuti. Partendo da 100g, calcolare la massa che rimane dopo 7,2 minuti"
oppure
"Il fosforo decade del 5% al giorno. Partendo da 20g di fosforo 32 calcolare il tempo affinché la sua quantità si dimezzi"
utilizzando il calcolo differenziale.
C'è un metodo risolutivo unico?
Ho cercato ma non trovo nessun link utile...
"Il tempo di dimezzamento di un isotopo radioattivo dello zinco è di 2,4 minuti. Partendo da 100g, calcolare la massa che rimane dopo 7,2 minuti"
oppure
"Il fosforo decade del 5% al giorno. Partendo da 20g di fosforo 32 calcolare il tempo affinché la sua quantità si dimezzi"
utilizzando il calcolo differenziale.
C'è un metodo risolutivo unico?
Ho cercato ma non trovo nessun link utile...
Risposte
Esiste un metodo, generalmente si può usare la formula $y=y_0e^(kt)$; però vorrei farti notare che questi due esercizi si possono risolvere più semplicemente.
Nel primo puoi notare che dopo $2,4$ minuti la quantità si è dimezzata, dopo $4,8$ minuti si è dimezzata la quantità restante e cioè $1/4$ di quella iniziale e che dopo $7,2$ questa quantità residua si è dimezzata nuovamente e quindi ti rimane $1/8$ di ciò che avevi all'inizio.
Per il secondo, dopo il primo giorno la quantità restante è il $95%$ di quella iniziale $q_1=0,95*q$, al secondo giorno avrai il $95%$ di questa quantità $q_2=0,95*0,95*q=0,95^2*q$ e così via, quindi avrai $1/2q=q*(0,95)^n$ e dalla quale trovare $n$ (di fatto è la formula che ho citato inizialmente).
Cordialmente, Alex
Nel primo puoi notare che dopo $2,4$ minuti la quantità si è dimezzata, dopo $4,8$ minuti si è dimezzata la quantità restante e cioè $1/4$ di quella iniziale e che dopo $7,2$ questa quantità residua si è dimezzata nuovamente e quindi ti rimane $1/8$ di ciò che avevi all'inizio.
Per il secondo, dopo il primo giorno la quantità restante è il $95%$ di quella iniziale $q_1=0,95*q$, al secondo giorno avrai il $95%$ di questa quantità $q_2=0,95*0,95*q=0,95^2*q$ e così via, quindi avrai $1/2q=q*(0,95)^n$ e dalla quale trovare $n$ (di fatto è la formula che ho citato inizialmente).
Cordialmente, Alex
Qui non vedo differenziali nemmeno col binocolo. Modifica il titolo del thread, grazie.
Quelli riportati sono problemini con le percentuali che si svolgono alle medie... Se, invece, vuoi descrivere il fenomeno di decadimento radioattivo usando un'equazione differenziale o (meglio) un'equazione alle differenze, questo è un altro paio di maniche.
In particolare, bisogna che cominci ad interpretare la derivata prima di una quantità variabile nel tempo come il tasso di variazione (istantaneo) di tale quantità.
Una volta realizzato ciò, devi trovare una EDO che descriva il fenomeno di decadimento ed accoppiare ad essa appropriate condizioni (iniziali, agli estremi, etc...) in modo da costruire un problema con (nella migliore delle ipotesi) unica soluzione che dipende "decentemente" dai dati scelti.
Dopodiché, trovi l'espressione esplicita (se ci riesci) della quantità variabile nel tempo che è individuata dal tuo problema e ci fai i conti che ti servono per risolvere i quesiti.
Nel caso di quantità che variano in maniera continua nel tempo, questa è la strada...
Tuttavia, nei due questiti che poni il tempo non varia in maniera continua, ma discreta.
Pertanto il problema che serve come modello per le situazioni descritte nei due quesiti non è una EDO, ma un'equazione alle differenze.
Quelli riportati sono problemini con le percentuali che si svolgono alle medie... Se, invece, vuoi descrivere il fenomeno di decadimento radioattivo usando un'equazione differenziale o (meglio) un'equazione alle differenze, questo è un altro paio di maniche.
In particolare, bisogna che cominci ad interpretare la derivata prima di una quantità variabile nel tempo come il tasso di variazione (istantaneo) di tale quantità.
Una volta realizzato ciò, devi trovare una EDO che descriva il fenomeno di decadimento ed accoppiare ad essa appropriate condizioni (iniziali, agli estremi, etc...) in modo da costruire un problema con (nella migliore delle ipotesi) unica soluzione che dipende "decentemente" dai dati scelti.
Dopodiché, trovi l'espressione esplicita (se ci riesci) della quantità variabile nel tempo che è individuata dal tuo problema e ci fai i conti che ti servono per risolvere i quesiti.
Nel caso di quantità che variano in maniera continua nel tempo, questa è la strada...
Tuttavia, nei due questiti che poni il tempo non varia in maniera continua, ma discreta.
Pertanto il problema che serve come modello per le situazioni descritte nei due quesiti non è una EDO, ma un'equazione alle differenze.
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