Problemi col limite...

[fk16]

Ragazzi ho questo esercizio d'esame che non riesco a risolvere:
Stabilire se la seguente funzione
$f(x, y) = 0, se (x, y) = 0$
$f(x, y) = ((x)^(1/2) − x)(| sin y|)^(1/2) + 4y, se (x, y) != 0$
risulti continua, derivabile o differenziabile in (0, 0). (Suggerimento: per la differenziabilita' porre $k = mh$)
io voglio dimostrare che è differenziabile in modo da poter dire direttamente che è continua.
Prima ho verificato che la funzione è derivabile, quindi:
$ lim_(h -> 0)(f(x_0+h,y_o)-f(x_0,y_0))/h $ e mi viene 0 => è derivabile parzialmente rispetto ad x.
$ lim_(k -> 0)(f(x_0,y_0+k)-f(x_0,y_0))/k $ e mi viene 4 => è derivabile parzialmente rispetto ad y.
Quindi la funzine è derivabile e allora mi posso chiedere se è differenziabile e allora faccio:
$ lim_((h,k)->(0,0))(f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)-f_x(x_0,y_0)h-f_y(x_0,y_0)k)/(h^2+k^2)^(1/2)$
a cui sostituendo le derivate prime e il valore della funzione nel punto si riduce alla sola:
$ lim_((h,k)->(0,0))(f(x_0+h,y_0+k)-f_y(x_0,y_0)k)/(h^2+k^2)^(1/2)$
quindi diventa:
$ lim_((h,k)->(0,0))(((h)^(1/2)-h)(|sink|)^(1/2))/(h^2+k^2)^(1/2)$
il testo suggerisce di sostituire $k=mh$
quindi diventa:
$ lim_((h,m)->(0,0))(((h)^(1/2)-h)(|sin(mh)|)^(1/2))/(h^2+((mh)^2))^(1/2)$
per risolvere il limite sostiutisco in coordinate polari e con le varie operazioni arrivo qui:
$ lim_(ro->0)(1/((ro cost)^(1/2))-1)((|sin((ro^2)sint cost)|)/(1+((ro sint)^2)))^(1/2)$
arrivato a questo punto non so più cosa fare qualcuno può darmi una mano.....???
Grazie per eventuali risposte...

[avmarshall]

credo che potresti maggiorare il seno nel penultimo passaggio

[fk16]

in che senso maggiorare il sen

[avmarshall]

$ sin(x) <= 1 -> (sin(x))^(1/2) <= 1^(1/2)=1 $
Potresti anche porre:
$ sin(x) $ è circa $ (x) $
che forse è la strada migliore!