Problemi Analisi II
Salve a tutti,
ho un problema con due esercizi di Analisi II, non so proprio da dove cominciare.
Ve li propongo:
1)
Ricercare i massimi e minimi della seguente funzione:
$\f(x,y)={(((x+y)sen(x+y)^2)/(x^2+y^2), if (x,y)!=(0,0)),(0, if (x,y)=(0,0)):}$
2)
Calcolare l'integrale
$\int int lny/x dxdy$
essendo $D={(x,y): 0
Per il 1) non so da dove cominciare; potrei iniziare con le derivate e procedere con il metodo dell'Hessiano, ma sono sicuro che ci sia un altro metodo, perchè le derivate sono un pò malvage! Mentre per il 2) se non sbaglio il D è normale rispetto a x, ma facendo l'integrale rispetto a y, che non è di per se complicato se non fosse definito, mi ritrovo con un estremo dove la funzione non è definita! Come procedere?
ho un problema con due esercizi di Analisi II, non so proprio da dove cominciare.
Ve li propongo:
1)
Ricercare i massimi e minimi della seguente funzione:
$\f(x,y)={(((x+y)sen(x+y)^2)/(x^2+y^2), if (x,y)!=(0,0)),(0, if (x,y)=(0,0)):}$
2)
Calcolare l'integrale
$\int int lny/x dxdy$
essendo $D={(x,y): 0
Per il 1) non so da dove cominciare; potrei iniziare con le derivate e procedere con il metodo dell'Hessiano, ma sono sicuro che ci sia un altro metodo, perchè le derivate sono un pò malvage! Mentre per il 2) se non sbaglio il D è normale rispetto a x, ma facendo l'integrale rispetto a y, che non è di per se complicato se non fosse definito, mi ritrovo con un estremo dove la funzione non è definita! Come procedere?
Risposte
i problemi proposti sono due comincio dal secondo
riscriviamo l'integrale proposto definendo i limiti di integrazione come detto nei dati ottenendo
$ int dx int lny.(1/x)dy$
estendendo l'integrazione in x da 0 a 1 e da 0 a $ x^2$ in y eseguiamo ora l'integrazione in y. Quindi ricordiamo che $lim x lnx=0$ se $x=0$ . Imponiamo ora $ y=0$ per limite inferiore di integrazione e per il limite superiore $y=x^2$ otterremo una funzione in x risultato della prima integrazione. Moltiplichiamo per 1/x dopo tutta sta fatica otteniamo
$ int 2x ln(x) -x $ facilmente integrabile e tenuto conto dei limiti di integrazione finalmente abbiamo il risultato $int f(x)=-1$
Il primo esercizio invece si può fare in modo canonico facendo le derivate parziali e calcolando gli hessiani ma sconsiglio molto vista la difficoltà delle operazioni necessarie. Iniziamo intanto a conmsiderare che se ,la fun zione ha un valore z0 per una copia di punti x0,y0 allora otterremo lo stesso risultato scambniando x con y (simmetrica ). ora consideriamo la stessa come composta di due funzioni
$ f(x,y)= (x+y)/(x^2+y^2)$
la seconda
$g(x,y)=sen(x+y)^2$
la prima equazione se si aggiunge 2xy a denominatore è uguale alla seguente
$z=1/(x+y)$
questa è una superficie ad andamento iperbolico con un massimo assoluto vicino al punto (0,0)
la seconda invece molto più interessante è una funzione ciclica con infiniti zeri determinabili da
$k pi=(x+y)^2$ al variare di k appartenente a N
e quindi
$y=sqrt(k*pi) -x$
e in più se $x=-y$ g è nulla e anche g*f lo è (basta fare il limite di f(x,y) per alcuni valori di x diversi da 0 per rendersene conto)
per determinare massimi e minimi della funzione data basta sapere che
$ sen(pi/2 +2npi)=1$
$ sen(3pi/2 +2npi)=-1$
se ora si moltiplicalno f*g ottieniamo una funzione composta avente le caratteristiche di entrambi ovvero una superficie ondulata con infiniti 0, infiniti massimi, e infiniti minimi e il cui valore assoluto tende a 0 in regioni lontane dall'origine degli assi.
riscriviamo l'integrale proposto definendo i limiti di integrazione come detto nei dati ottenendo
$ int dx int lny.(1/x)dy$
estendendo l'integrazione in x da 0 a 1 e da 0 a $ x^2$ in y eseguiamo ora l'integrazione in y. Quindi ricordiamo che $lim x lnx=0$ se $x=0$ . Imponiamo ora $ y=0$ per limite inferiore di integrazione e per il limite superiore $y=x^2$ otterremo una funzione in x risultato della prima integrazione. Moltiplichiamo per 1/x dopo tutta sta fatica otteniamo
$ int 2x ln(x) -x $ facilmente integrabile e tenuto conto dei limiti di integrazione finalmente abbiamo il risultato $int f(x)=-1$
Il primo esercizio invece si può fare in modo canonico facendo le derivate parziali e calcolando gli hessiani ma sconsiglio molto vista la difficoltà delle operazioni necessarie. Iniziamo intanto a conmsiderare che se ,la fun zione ha un valore z0 per una copia di punti x0,y0 allora otterremo lo stesso risultato scambniando x con y (simmetrica ). ora consideriamo la stessa come composta di due funzioni
$ f(x,y)= (x+y)/(x^2+y^2)$
la seconda
$g(x,y)=sen(x+y)^2$
la prima equazione se si aggiunge 2xy a denominatore è uguale alla seguente
$z=1/(x+y)$
questa è una superficie ad andamento iperbolico con un massimo assoluto vicino al punto (0,0)
la seconda invece molto più interessante è una funzione ciclica con infiniti zeri determinabili da
$k pi=(x+y)^2$ al variare di k appartenente a N
e quindi
$y=sqrt(k*pi) -x$
e in più se $x=-y$ g è nulla e anche g*f lo è (basta fare il limite di f(x,y) per alcuni valori di x diversi da 0 per rendersene conto)
per determinare massimi e minimi della funzione data basta sapere che
$ sen(pi/2 +2npi)=1$
$ sen(3pi/2 +2npi)=-1$
se ora si moltiplicalno f*g ottieniamo una funzione composta avente le caratteristiche di entrambi ovvero una superficie ondulata con infiniti 0, infiniti massimi, e infiniti minimi e il cui valore assoluto tende a 0 in regioni lontane dall'origine degli assi.
Ok ho chiaro il procedimento per l'integrale, ma il procedimento per la funzione non l'ho capito...
Ora è più chiaro, però non ho capito una cosa: su quale principio aggiungiamo $2xy$ al denominatore? Ci avevo pensato pure io, dato che $(x+y)^2=x^2+y^2+2xy$, ma aggiungendolo arbitrariamente non modifichiamo la nostra funzione?
Il passaggio cui ti riferisci si usa quando si vuole trovare una maggiorante o una minorante cioè una funzione che ha un andamento simile a quella data ma si mantiene sempre di valore maggiore, o minore e non è essenziale ai fini della trattazione fatta. L'ho fatto per ottenere una equazione più semplice di quella data ma usando l'equazione
$z=(x+y)/(x^2+y^2)$
formalmente corretta, il discorso non cambia.
Ho introdotto quell'approssimazione nell'intento di farmi capire meglio e forse ti ho confuso le idee me ne scuso!
Ancora un commento i massimi, i minimi e gli zeri della funzione stanno su piani paralleli di equazione $y=-x+c$ lo avevi notato?
$z=(x+y)/(x^2+y^2)$
formalmente corretta, il discorso non cambia.
Ho introdotto quell'approssimazione nell'intento di farmi capire meglio e forse ti ho confuso le idee me ne scuso!
Ancora un commento i massimi, i minimi e gli zeri della funzione stanno su piani paralleli di equazione $y=-x+c$ lo avevi notato?
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