PROBLEMA URGENTE SU INTEGRALI DOPPI

[saracca1]

Ciao a tutti! Qualcuno sa risolvere questo integrale doppio: f(x,y)=x sul triangolo di vertici
(-1,0),(2,1),(0,2)?
Grazie grazie grazie
Mi mandate una mail [e-mail]?

[Luca.Lussardi]

Non mi pare molto difficile; prova a disegnare per bene il triangolo e a pensare a come ridurre.

[saracca1]

L'ho disegnato e c'ho pensato, ma proprio non riesco, tutti gli esempi che ci son stati dati son stati fatti con almeno un lato parallelo all'asse x o y.
Puoi spiegarmi i metodi di riduzione? grazie.

[Luca.Lussardi]

Puoi ridurlo sia per orizzontali sia per verticali. Se disegni il triangolo ti accorgi, per esempio, che quando $x$ varia in $(-1,0)$, $y$ varia tra due lati del triangolo, mentre se $x$ varia in $(0,2)$ la $y$ varia tra altri lati del triangolo. Basta solo trovare le equazioni dei lati interessati.

[saracca1]

Grazie le equazioni le ho trovate però proprio non so come impostare l'integrale.
Aiuto sto andando in crisi.

[Luca.Lussardi]

L'integrale si riduce ad una forma del tipo:
$\int_(-1)^0 \int_(g(x))^(h_1(x)) xdydx+\int_(0)^2 \int_(g(x))^(h_2(x)) xdydx$ dove $g,h_1$ e $h_2$ sono equazioni di opportune rette, che dovresti aver trovato.

[saracca1]

Grazie grazie grazie!

[saracca1]

Ma quindi anche quando ad esempio devo trovare l'area compresa tra una parabola e un'altra curva devo fare l'integrale della parte compresa tra queste due curve mettendo come limiti dell'integrale le equazioni delle due curve?

[Luca.Lussardi]

Si', solo che devi integrare, in tal caso, la funzione $f(x,y)=1$.

[saracca1]

Grazie grazie. Un'ultima cosa come faccio nella pratica a distinguere una matrice semidefinita positiva o negativa da una definita positiva o negativa?
Grazie ancora

[ELWOOD1]

devi determinare la forma quadratica della matrice stessa....e in base alle definizioni di essa determini come è definita

[saracca1]

Grazie. ho bisogno di un aiutino per queste funzioni. devo trovere i punti stazionari e dire se sono max o min, ma non riesco a trovare le soluzioni dei sistemi.
Le funzioni sono:
f(x,y)=x-y+1/4(x^4+y^4) in tutto R2
f(x,y)=x(y-1)+log(x/y) in (0,+inf) X (0+inf)
f(x,y)=(y^2-1)(1-e^(x^2)) in tutto R2

Grazie grazie.

[Camillo]

Per la prima funzione hai :
$f_x = 1+x^3 $
$f_y = -1+y^3 $
Per trovare i posibili punti stazionari eguaglia a zero le due derivate e risolvi il sistema :

$x^3+1 = 0 $
$y^3-1 = 0 $

che ha la sola soluzione reale $ x= -1 ; y = 1 $ .

[saracca1]

Grazie mille e per le altre 2?

[Camillo]

La seconda :
$f_x = y-1+1/x = (xy-x+1)/x $

$f_y =x-1/y = (xy-1)/y $
Il sistema da risolvere è quindi :

$ xy-x+1 = 0 $
$xy-1 = 0 $ da cui $ xy =1$ che sostituito nella prima equazione dà :

$1-x+1=0 $ e quindi $x=2 ; y=1/2$.

A te la terza...

[saracca1]

Ho provato a fare la terza ma è giusto che mi vengano come soluzioni del sistema: x=0 e y=1; x=0 e y=0; x=0 e y=-1?

[Camillo]

Se $x=0$ allora $y $ può essere qualunque ; prova a sostituire nelle due equazioni del sistema $x=0 $ e vedrai che le derivate parziali valgono sempre $0 $ per qualunque valore di $ y $ ; allora la soluzione è tutto l'asse $y$ che ha appunto equazione $x=0 $.

[saracca1]

Capito grazie

[saracca1]

Ho bisogno di un'ultima dritta. Ho calcolato il gradiente secondo e mi è risultata semidefinita per cui devo studaire la funzione con il metodo del segno giusto?
Ho pensato così:
Per x<0 la funzione è positiva qualunque si y, mentre per x>0 la funzione è negativa qualnque sia y giusto?
Adesso come devo fare per stabilire se i punti a coordinate (0,y) sono di max o min?
Grazie ancora

[Camillo]

Su tutto l'asse $y $ la funzione vale $0 $.
Adesso vediamo che segno assume in un intorno dell'asse $y $ .

$f(x,y)=(y^2-1)(1-e^(x^2)) $.

Il secondo fattore è negativo per qualunque valore di $x $ ; il primo fattore è >0 $ per $ y> 1; y<-1 $ .
Quindi la funzione $f(x,y ) $ è $>0 $ per $-11; y< -1 $.

Quindi l'asse $ y $ per $ -1

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[saracca1]

Ascolta: per trovare l'area della regione del primo quadrante compresa tra la parabola di equazione y=(x-1)^2e la circonferenza di equazione x^2+y^2=1 devo fare l'integrale compreso tra 0 e 1 dell'equazione della circonferenza meno quella della parabola?