Problema trasformata di Fourier
Ciao ragazzi.
Probabilmente la domanda che vi faccio è di una banalità assoluta, ma dal momento che sono un chimico (non un chimico fisico) la trasformata di Fourier mi suona un po' nuova e mi sfugge un determinato passaggio.
Nello specifico la stavamo applicando alla seconda legge di Fick per costruire un modello di diffusione di uno specifico inquinante nelle acque stagnanti.
Dopo aver dimostrato che la trasformata di Fourier di df/dx è uguale a iy*F(f(x)],
l'abbiamo applicata alla seguente funzione:
$(drho)/dt = Dnabla^2rho$
Quindi abbiamo ottenuto (per F grande intendo la trasformata di Fourier):
$F[(drho)/dt] = F[D*nabla^2*rho]$
In una sola dimensione:
$F[(drho)/dt] = F[D*(d^2rho)/(dx^2)]$
Quindi, se per il secondo termine sono riuscito a giustificare che:
$F[D*(d^2rho)/(dx^2)]$ = $-Dk^2F[rho] $
per il primo termine non capisco perché sia diventato (nella dimostrazione che ci ha fatto il nostro professore):
$F[(drho)/dt] = (dF[rho])/(dt)$
Potete spiegarmelo "for dummies"?
Grazie e perdonate l'ignoranza...
Probabilmente la domanda che vi faccio è di una banalità assoluta, ma dal momento che sono un chimico (non un chimico fisico) la trasformata di Fourier mi suona un po' nuova e mi sfugge un determinato passaggio.
Nello specifico la stavamo applicando alla seconda legge di Fick per costruire un modello di diffusione di uno specifico inquinante nelle acque stagnanti.
Dopo aver dimostrato che la trasformata di Fourier di df/dx è uguale a iy*F(f(x)],
l'abbiamo applicata alla seguente funzione:
$(drho)/dt = Dnabla^2rho$
Quindi abbiamo ottenuto (per F grande intendo la trasformata di Fourier):
$F[(drho)/dt] = F[D*nabla^2*rho]$
In una sola dimensione:
$F[(drho)/dt] = F[D*(d^2rho)/(dx^2)]$
Quindi, se per il secondo termine sono riuscito a giustificare che:
$F[D*(d^2rho)/(dx^2)]$ = $-Dk^2F[rho] $
per il primo termine non capisco perché sia diventato (nella dimostrazione che ci ha fatto il nostro professore):
$F[(drho)/dt] = (dF[rho])/(dt)$
Potete spiegarmelo "for dummies"?
Grazie e perdonate l'ignoranza...
Risposte
La trasformata di Fourier agisce sulle coordinate spaziali, non su quelle temporali. Pertanto, rispetto alla derivata rispetto a $t$ non comporta cambiamenti.
Ah ok, ottimo!!
Però continuo a non capire perché:
$F[drho/dt] = dF[rho]?$
Cioè, va bene che la trasformata non "agisce" sul tempo, però allora perché non si può scrivere:
$(F[drho])/dt $
Perché:
$F[drho] = dF[rho] $?
Scusa, ma io ho visto solo l'applicazione della trasformata senza però conoscere le basi teoriche (non ce le hanno spiegate).
Grazie ancora!!
Però continuo a non capire perché:
$F[drho/dt] = dF[rho]?$
Cioè, va bene che la trasformata non "agisce" sul tempo, però allora perché non si può scrivere:
$(F[drho])/dt $
Perché:
$F[drho] = dF[rho] $?
Scusa, ma io ho visto solo l'applicazione della trasformata senza però conoscere le basi teoriche (non ce le hanno spiegate).
Grazie ancora!!
Se due operatori non agiscono sulle medesime variabili, essi commutano. E' un principio standard della matematica in generale. Prendi il caso delle derivate parziali rispetto ad $x$: sulle $y$ risultano indifferenti e quindi che tu faccia prima delle operazioni su queste variabili e poi derivi o che ti comporti al contrario, ottieni sempre lo stesso risultato.
Il senso preciso in quella cosa che hai scritto è il seguente: se prima derivi rispetto a $t$ e poi trasformi ottieni lo stesso risultato che se derivassi la trasformata.
Il senso preciso in quella cosa che hai scritto è il seguente: se prima derivi rispetto a $t$ e poi trasformi ottieni lo stesso risultato che se derivassi la trasformata.
Chiarissimo!
Ti ringrazio molto!
Ti ringrazio molto!
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