Problema tangente

[Nazgul1]

Ho dei problemi con il calcolo della tangente al grafico...Spero possiate darmi una mano

Esempio: Calcolare la retta tangente al grafico di: f(x) $ sqrt((x)^(2) + 3) in P(1,f(1))

posto y= m(x-x0) + f(x) non riesco a capire come impostare il limite per trovare m...

La formula dovrebbe essere: $ lim_(h -> 0) (f(x0 + h) - f(x0)) / h =m

Dove h è x0 sono rispettivamente?

Grazie in anticipo

[yellow2]

Quella è semplicemente la definizione di derivata di $f$ calcolata nel punto $x_0$! Nel tuo caso $x_0$ è $1$, mentre la $h$ ha solo il compito di "tendere a zero". Non hai fatto le derivate? Se le hai fatte dovresti anche sapere che per calcolarle di solito non si applica direttamente la definizione ma esistono delle "regole di derivazione" che vengono dimostrate una volta per tutte e semplificano le cose.

[Nazgul1]

Sisi, so derivare ma non riuscivo a capire i ruoli dei singoli membri nel limite e, di conseguenza a svolgerlo...Se x0=1 quel limite viene 0 E' plausibile?

[yellow2]

Non credo proprio! Guarda che risolvere quel limite non è così immediato, per esempio devi sviluppare il quadrato di un binomio. Ma se conosci le regole di derivazione perché non le applichi?

Comunque il ruolo della h è quello di essere idealmente un incremento molto piccolo. Stai facendo il rapporto tra "quanto varia la funzione se mi muovo di pochissimo lungo l'asse x" e "quanto mi sono mosso". Se il rapporto è più grande di 1 (in valore assoluto) vuol dire che la funzione varia più velocemente della variabile (argh!) e quindi la tangente è più inclinata, viceversa il contrario!

[Nazgul1]

Ecco vedi, punto e a capo, non ho mica capito come svolgerlo Non capisco cosa mettere li dentro, forse non riesco a spiegarmi...

[yellow2]

Il limite che vuoi svolgere è:
$lim_(h -> 0) (f(1 + h) - f(1)) / h = lim_(h -> 0) (sqrt((1+h)^2+3)-sqrt(1^2+3))/h
che non è poi così difficile.

Ma quello che sto dicendo è: perché non ti calcoli la derivata di f e non vedi quanto vale nel punto $x=1$?

[Nazgul1]

Ho fatto il corso di calcolo 3 anni fa, vista la modalità che abbiamo anche 1 solo esercizio sbagliato è sinonimo di bocciatura, all'epoca decisi di non farlo per motivi che nn ricordo, ora sto cercando di riprendere il tutto per darmi sto benedetto esame e ho ricordi vari che mi confondono ancora di più...Ho appunti con esercizi svolti che come metodo di risoluzione portano lo svolgimento del limite e poi dell'equazione. Il punto è che anche gli appunti sono svolti non sempre alla stessa maniera, penso per ovvie ragioni, ma non riesco a capire quali, fra le altre cose il libro fa schifo -_-''

[Nazgul1]

Correggimi se sbaglio:

f(x)= $ sqrt(x^2 + 3) $
f'(x)= $ 1 / (sqrt(x^2 + 3) * 2x) $
$ lim_(x -> 1) 1 / (sqrt(x^2 + 3) * 2x) = 1/4 $

[yellow2]

Sbagli varie cose. Intanto quel limite non c'entra niente, anche se in questo caso il risultato non cambia (dovevi calcolare $f'(1)$)!
E poi la derivata non è calcolata in modo corretto, infatti:
1) La derivata della funzione sotto radice devi metterla come fattore moltiplicativo, quindi a numeratore e non a denominatore.
2) Ti sei scordato di moltiplicare per $1/2$.

Infatti tu hai, con $g(x)=x^2+3$:

$D[sqrt(x^2+3)]=D[sqrt(g(x))]=D[g(x)^(1/2)]=1/2(g(x))^(1/2-1)g'(x)=1/2(g'(x))/sqrt(g(x))=...$ mi sono scocciato, continualo tu