Problema sullo svolgimento di una derivata prima e seconda
Salve a tutti
dovendo fare lo studio di un grafico di funzione,ho avuti parecchi problemi nello svolgere la derivata prima e seconda.
ecco la funzione :
f(x)= (3/2) elevato a x/x-3
posso dire che ho trovato con successo sia il dominio,sia il segno della funzione e sia gli asintoti. Il problema è che non so come gestire l'elevazione x/x-3!
Grazie a coloro che mi aiuteranno!
dovendo fare lo studio di un grafico di funzione,ho avuti parecchi problemi nello svolgere la derivata prima e seconda.
ecco la funzione :
f(x)= (3/2) elevato a x/x-3
posso dire che ho trovato con successo sia il dominio,sia il segno della funzione e sia gli asintoti. Il problema è che non so come gestire l'elevazione x/x-3!
Grazie a coloro che mi aiuteranno!
Risposte
Nel caso in questione, hai a che fare con una funzione composta del tipo
$a ^ (g(x))$
Come ben saprai, la derivata di una qualsiasi funzione esponenziale $a^x$ è $a^x * loga$.
Si tratta semplicemente di calcolare la derivata di una funzione composta, che nel caso in questione sarà
$ f' (x) = a^ (g(x)) * loga * D(g(x))$
esattamente come faresti con ogni altra funzione composta. La funzione esponenziale si chiama così proprio perchè l'incognita si trova all'esponente di una potenza, a base "fissata". Come in tutte le funzioni composte tramite funzioni elementari, quindi, si tratta di sostituire l'incognita che trovi nella formula di queste espressioni elementari con un'altra funzione, che soddisfi determinate caratteristiche che sanciscono la "componibilità" tra due o più funzioni.
L' "altra funzione", nel caso specifico, è proprio $g(x) = x/(x - 3)$.
Se sono stato sufficientemente chiaro, prova a farla tu
.
Se qualcosa non è chiaro, fai pure un fischio, senza problemi.
P.S. - Se, come base, hai un termine non costante, cioè se hai a che fare con un' espressione del tipo $f(x) ^ g(x)$, occorre trasformare quella espressione in una seconda equivalente: $e ^ (g(x)* log (f(x)))$, riconducendoti praticamente al caso che tu stessi hai postato, con la base, cioè, costante.
$a ^ (g(x))$
Come ben saprai, la derivata di una qualsiasi funzione esponenziale $a^x$ è $a^x * loga$.
Si tratta semplicemente di calcolare la derivata di una funzione composta, che nel caso in questione sarà
$ f' (x) = a^ (g(x)) * loga * D(g(x))$
esattamente come faresti con ogni altra funzione composta. La funzione esponenziale si chiama così proprio perchè l'incognita si trova all'esponente di una potenza, a base "fissata". Come in tutte le funzioni composte tramite funzioni elementari, quindi, si tratta di sostituire l'incognita che trovi nella formula di queste espressioni elementari con un'altra funzione, che soddisfi determinate caratteristiche che sanciscono la "componibilità" tra due o più funzioni.
L' "altra funzione", nel caso specifico, è proprio $g(x) = x/(x - 3)$.
Se sono stato sufficientemente chiaro, prova a farla tu
.Se qualcosa non è chiaro, fai pure un fischio, senza problemi.
P.S. - Se, come base, hai un termine non costante, cioè se hai a che fare con un' espressione del tipo $f(x) ^ g(x)$, occorre trasformare quella espressione in una seconda equivalente: $e ^ (g(x)* log (f(x)))$, riconducendoti praticamente al caso che tu stessi hai postato, con la base, cioè, costante.
allora seguendo il tuo ragionamento dovrei fare 3/2 elevato a x/x-3 per log3/2 per -3/(x-3) elevato al quadrato giusto?
Se si come posso risolvere il log3/2? Sarebbe radice terza di e al cubo?
Grazie!!![/pgn]
Se si come posso risolvere il log3/2? Sarebbe radice terza di e al cubo?
Grazie!!![/pgn]
Allora, ricordiamo che data $ f(x)=a^x \Rightarrow f'(x)=a^x*log_ea$ e data la funzione composta $ y=f[g(x)] \Rightarrow y'=f'[g(x)]*g'(x)$. Nel caso in questione la funzione è del tipo $ f(x)=a^g(x) $, quindi $ f'(x)=a^g(x)*log_ea*g'(x) $. Pertanto
$ f(x)=(3/2)^(x/(x-3)) $
$ f'(x)=(3/2)^(x/(x-3))*log_e(3/2)*(x-3-x)/(x-3)^2=-(3/2)^(x/(x-3))*log_e(3/2)*3/(x-3)^2 $ e raccogliendo a fattor comune e svolgendo semplici operazioni, la derivata prima diventa
$ f'(x)=-(2^(x/(3-x))*3^((2x-3)/(x-3))*log_e(3/2))/(x-3)^2 $.
Ora per la derivata seconda (la logica è la stessa, ma come hai detto tu è piuttosto laborosia) ti consiglio di riscrivere la derivata prima, mettendo in evidenza la costante, ossia
$ f'(x)= -log_e(3/2)*[(3/2)^(x/(x-3))*3/(x-3)^2] $. A questo punto, ricordando che data la funzione $ y=f(x)*g(x) $ la derivata è $ y'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x) $ il gioco è fatto.
Alla fine di tutti i calcoli dovrebbe uscirti un'espressione del tipo
$ f''(x)=-log_e(3/2)*{(3/2)^(x/(x-3))*3/(x-3)^2*[log_e(3/2)*3/(x-3)^2-2]} $ ... sempre che non abbia fatto errori
$ f(x)=(3/2)^(x/(x-3)) $
$ f'(x)=(3/2)^(x/(x-3))*log_e(3/2)*(x-3-x)/(x-3)^2=-(3/2)^(x/(x-3))*log_e(3/2)*3/(x-3)^2 $ e raccogliendo a fattor comune e svolgendo semplici operazioni, la derivata prima diventa
$ f'(x)=-(2^(x/(3-x))*3^((2x-3)/(x-3))*log_e(3/2))/(x-3)^2 $.
Ora per la derivata seconda (la logica è la stessa, ma come hai detto tu è piuttosto laborosia) ti consiglio di riscrivere la derivata prima, mettendo in evidenza la costante, ossia
$ f'(x)= -log_e(3/2)*[(3/2)^(x/(x-3))*3/(x-3)^2] $. A questo punto, ricordando che data la funzione $ y=f(x)*g(x) $ la derivata è $ y'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x) $ il gioco è fatto.
Alla fine di tutti i calcoli dovrebbe uscirti un'espressione del tipo
$ f''(x)=-log_e(3/2)*{(3/2)^(x/(x-3))*3/(x-3)^2*[log_e(3/2)*3/(x-3)^2-2]} $ ... sempre che non abbia fatto errori
Benissimo Grazie!!!!
allora in base ai tuoi calcoli la funzione di partenza dovrebbe essere convessa (tranne nel caso che x=3...) giusto?
In quanto la derivata seconda è positiva per tutti i valori di R>0 e diversi da 3!
allora in base ai tuoi calcoli la funzione di partenza dovrebbe essere convessa (tranne nel caso che x=3...) giusto?
In quanto la derivata seconda è positiva per tutti i valori di R>0 e diversi da 3!
Se si come posso risolvere il log3/2? Sarebbe radice terza di e al cubo?
Se vuoi semplicemente semplificare l'espressione, scrivendo un solo esponenziale invece di due(presumo che sia così, chiedo conferma), allora l'unica cosa che penso si possa fare è quella di scrivere $log (3/2)$ come $e^(log(log (3/2))$, sfruttando proprio la formula precedente che ho scritto nel post-scriptum del messaggio precedente, considerando come $f(x)$ la funzione costante $log (3/2)$ e come $g(x)$ la funzione costante $1$.
Però probabilmente non ho capito quanto chiedi. Se vuoi, chiarisci pure.
In ogni caso, $root(3)(e^3))$ vale semplicemente $e$, e evidentemente $e != log(3/2)$.
Beh..ti ricordi la funzione di partenza (3/2 elevato a x/x-3)? Il mio obiettivo era stabilire, in base al segno della derivata seconda, la concavità o convessità della funzione; quello che chiedevo era appunto un modo per semplificare l'espressione, e sei stato esauriente al riguardo.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo