Problema sulle serie di funzioni e di potenze
Ciao a tutti, sto facendo un po di esercizi sulle serie di funzioni e ho riscontrato un problema(onestamente non è che ci abbia capito molto in generale sulla parte pratica dell'argomento 
) nel seguente esercizio e speravo poteste darmi una mano a risolverlo.
Mi viene chiesto di determinare il raggio di convergenza $ρ$ e, quando possibile, il comportamento in $x= +- ρ$
1) $\sum_{n=1}^infty n^(-1) x^(n^2)$
nella soluzione mi viene detto che gli unici coefficienti non nulli sono gli $a_(n^2) = 1/n$ ma non capisco perché, potreste spiegarmelo?
viene poi applicato il criterio della radice e si ha (considero il limite come fosse lim sup)
$\lim_{n \to \infty} root(n)(|a_n|) = \lim_{n \to \infty} root(n^2)(1/n) = 1$
ma, anche qui, non capisco come mai cambia $n$ in $n^2$ e perchè vale la prima uguaglianza.
Grazie in anticipo per l'aiuto!
) nel seguente esercizio e speravo poteste darmi una mano a risolverlo.Mi viene chiesto di determinare il raggio di convergenza $ρ$ e, quando possibile, il comportamento in $x= +- ρ$
1) $\sum_{n=1}^infty n^(-1) x^(n^2)$
nella soluzione mi viene detto che gli unici coefficienti non nulli sono gli $a_(n^2) = 1/n$ ma non capisco perché, potreste spiegarmelo?
viene poi applicato il criterio della radice e si ha (considero il limite come fosse lim sup)
$\lim_{n \to \infty} root(n)(|a_n|) = \lim_{n \to \infty} root(n^2)(1/n) = 1$
ma, anche qui, non capisco come mai cambia $n$ in $n^2$ e perchè vale la prima uguaglianza.
Grazie in anticipo per l'aiuto!
Risposte
per trovare il raggio di convergenza in questo caso forse è meglio considerare la serie come una serie numerica con $x$ fissato ed applicare il criterio del rapporto
$|1/((n+1))x^((n+1)^2)cdotn/x^(n^2)|=n/(n+1)|x^(2n+1)|$
e da qui si evince che il raggio di convergenza è uguale ad $1$
vediamo cosa succede agli estremi:
per $x=1$ hai la serie armonica,che è divergente
per$x=-1$ hai la serie armonica a segni alterni ,che converge per il criterio di Leibniz
$|1/((n+1))x^((n+1)^2)cdotn/x^(n^2)|=n/(n+1)|x^(2n+1)|$
e da qui si evince che il raggio di convergenza è uguale ad $1$
vediamo cosa succede agli estremi:
per $x=1$ hai la serie armonica,che è divergente
per$x=-1$ hai la serie armonica a segni alterni ,che converge per il criterio di Leibniz
grazie stormy per l'aiuto, ma non son sicuro di aver capito una cosa: considerare la serie come se fosse numerica non dovrebbe assicurarmi solo convergenza puntuale e/o assoluta? nel senso, la convergenza uniforme non dovrebbe rimanere tagliata fuori con questo ragionamento?
e tra l'altro ancora non capisco perchè considera non nulli solo gli $a_(n^2) = 1/n$
grazie ancora per l'aiuto!
e tra l'altro ancora non capisco perchè considera non nulli solo gli $a_(n^2) = 1/n$
grazie ancora per l'aiuto!
per le serie di potenze,la convergenza puntuale in un intervallo interno all'intervallo di convergenza coincide con la convergenza uniforme
l'altra cosa,a dire il vero,è ininfluente ai fini dell'esercizio
comunque,sviluppando la serie si vede che è fatta in questo modo:
$x+1/2x^4+1/3x^9+...$
l'altra cosa,a dire il vero,è ininfluente ai fini dell'esercizio
comunque,sviluppando la serie si vede che è fatta in questo modo:
$x+1/2x^4+1/3x^9+...$
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