Problema sulla dinamica della crescita di una colonia di batteri

[elatan1]

Ciao a tutti!
Stavo ragionando su questo problema ma non sono sicuro di essere riuscito ad interpretarne bene il significato. Infatti, arrivo ad un'equazione ma non è conforme a quello che realmente uno si aspetta accada, ecco la ragione dei miei dubbi.
Di seguito il problema.

Una tossina uccide una popolazione di batteri ad un tasso contemporaneamente proporzionale al numero dei batteri presenti ed alla quantità di tossina. Si indichi con $a$ tale costante di proporzionalità.
In assenza di tossina la popolazione di batteri cresce ad un tasso proporzionale al numero di batteri presenti. Si indichi con $b$ tale costante di proporzionalità. Si assuma che la quantità di tossina T cresca ad un tasso costante $c$ e che la produzione di tossina abbia inizio al tempo $t=0$.
Determinare la quantità di batteri al tempo $t$.
Vi ringrazio

[Rigel1]

La quantità di tossina soddisfa l'equazione differenziale \(\dot{T} = c\); sapendo che \(T(0) = 0\), ricavi \(T(t) = \ldots\).
Per quanto riguarda il numero di batteri, detto \(B_0\) il loro numero iniziale hai che
\[
\begin{cases}
\dot{B}(t) = b \, B(t) - a\, B(t)\, T(t),\\
B(0) = B_0.
\end{cases}
\]
Sostituendo nell'equazione la funzione \(T(t)\) ottieni un'equazione a variabili separabili per \(B\).

[elatan1]

Ho capito dove sbagliavo! Ti ringrazio