Problema sulla convergenza di integrali impropri
Ciao a tutti, sto studiando gli integrali impropri e ho riscontrato dei problemi nello stabilire la convergenza. O meglio, per la convergenza penso di aver capito come fare a stabilirla(devo guardare come si comporta la funzione in un punto incriminato e rifarmi ai vari criteri e a degli integrali impropri "noti", un po' come con le serie) ma in questi due esercizi non riesco a ricondurmi ad una forma ben analizzabile della mia funzione. Vi illustro gli esercizi
1) $\int_0^(+infty) (arctg(1/(x^a)))/root(3)((1 + log^2 x)log(1 + x^(2a)))dx$
mi viene richiesto di stabilire per quali valori di $a in RR$ l'integrale converge.
la prima cosa che faccio è stabilire dov'è definita con continuità la mia funzione. in questo caso è definita e continua su $(0, +infty)$
Vado quindi a vedere in che modo si comporta la mia funzione al variare di $a$ negli intorni di $0$ e $+infty$
Per $a = 0$ ho che
in $u(0)$ ho $f(x) = π/(4root(3)(log2)) 1/(root(3)(1 + log^2 x))$
che è infinitesima per x che tende a zero e quindi converge.
in $u(+infty)$ ho $ f ~ π/(4root(3)(log2)) 1/(log^(2/3) x) $
che non converge. Quindi l'integrale improprio non converge.
ora il mio problema consiste nello sviluppo della funzione nel caso seguente
Per $a < 0$ ho che
in $u(0)$ ho che il numeratore è asintotico a $1/x^a$. Il denominatore invece
$D[x] = root(3)((1 + log^2 x)log(1 + x^(2a))$
non riesco a svilupparlo. Il mio libro mi dà come risultato
$D[x] = root(3)((1 + log^2 x)log(1 + x^(2a))) $ $ ~ $ $ 2a^(1/3)x^alogx$
Qualcuno saprebbe dirmi come svolgere questo sviluppo?
una volta considerati tutti i casi sia per $a>0$ che per $a<0$ vado a vedere quando l'integrale rispetta i criteri per la convergenza in $0$ e $+infty$
2)mi viene chiesto di stabilire se converge l'integrale improprio
$\int_0^(+infty) (e^(-x^2)(Shx -arctgx))/(x^2 root(5)((logx - 3)logx)) dx$
ancora una volta, per prima cosa vedo che f è definita su $(0,+infty)$\${1,e^3}$
per $x -> 1_+-$ ho che $f(x) = (e^(-1)(Sh(1) -arctg(1)))/(root(5)((logx - 3)logx))$, chiamo $c =e^(-1)(Sh(1) -arctg(1))$ quindi
$f(x) = c/(root(5)((logx - 3)logx))$
per andare avanti, il libro mi dice di considerare il fatto che, per $x-> x_0$ con $x_0 > 0$ si ha che
$log x = logx_0 + (x-x_0)/x_0 +o(x - x_0)$
quindi in questo caso
$log x = log 1 + (x-1) +o(x - 1) ~ x- 1 $
Quindi, applicando questa formula alla funzione ho che
$f(x) = c/(root(5)((logx - 3)logx)) = c/(root(5)((x -1 + o(x - 1) - 3)(x -1 + o(x - 1)))$ $ = c/(root(5)((x -4 + o(x - 1))(x -1 + o(x - 1)))$ $ ~ c/(root(5)((x^2 - 5x +4))) $
giusto?
perchè ancora una volta, il libro mi da invece
$x -> 1_+-$ ho che $f(x) ~ c/(x-1)^(1/5)$
e anche qui non capisco come ci arriva. Se riusciste a spiegarmelo mi sareste d'aiuto, è tutto il giorno che cerco di risolverli.
Ringrazio in anticipo per la disponibilità.
1) $\int_0^(+infty) (arctg(1/(x^a)))/root(3)((1 + log^2 x)log(1 + x^(2a)))dx$
mi viene richiesto di stabilire per quali valori di $a in RR$ l'integrale converge.
la prima cosa che faccio è stabilire dov'è definita con continuità la mia funzione. in questo caso è definita e continua su $(0, +infty)$
Vado quindi a vedere in che modo si comporta la mia funzione al variare di $a$ negli intorni di $0$ e $+infty$
Per $a = 0$ ho che
in $u(0)$ ho $f(x) = π/(4root(3)(log2)) 1/(root(3)(1 + log^2 x))$
che è infinitesima per x che tende a zero e quindi converge.
in $u(+infty)$ ho $ f ~ π/(4root(3)(log2)) 1/(log^(2/3) x) $
che non converge. Quindi l'integrale improprio non converge.
ora il mio problema consiste nello sviluppo della funzione nel caso seguente
Per $a < 0$ ho che
in $u(0)$ ho che il numeratore è asintotico a $1/x^a$. Il denominatore invece
$D[x] = root(3)((1 + log^2 x)log(1 + x^(2a))$
non riesco a svilupparlo. Il mio libro mi dà come risultato
$D[x] = root(3)((1 + log^2 x)log(1 + x^(2a))) $ $ ~ $ $ 2a^(1/3)x^alogx$
Qualcuno saprebbe dirmi come svolgere questo sviluppo?
una volta considerati tutti i casi sia per $a>0$ che per $a<0$ vado a vedere quando l'integrale rispetta i criteri per la convergenza in $0$ e $+infty$
2)mi viene chiesto di stabilire se converge l'integrale improprio
$\int_0^(+infty) (e^(-x^2)(Shx -arctgx))/(x^2 root(5)((logx - 3)logx)) dx$
ancora una volta, per prima cosa vedo che f è definita su $(0,+infty)$\${1,e^3}$
per $x -> 1_+-$ ho che $f(x) = (e^(-1)(Sh(1) -arctg(1)))/(root(5)((logx - 3)logx))$, chiamo $c =e^(-1)(Sh(1) -arctg(1))$ quindi
$f(x) = c/(root(5)((logx - 3)logx))$
per andare avanti, il libro mi dice di considerare il fatto che, per $x-> x_0$ con $x_0 > 0$ si ha che
$log x = logx_0 + (x-x_0)/x_0 +o(x - x_0)$
quindi in questo caso
$log x = log 1 + (x-1) +o(x - 1) ~ x- 1 $
Quindi, applicando questa formula alla funzione ho che
$f(x) = c/(root(5)((logx - 3)logx)) = c/(root(5)((x -1 + o(x - 1) - 3)(x -1 + o(x - 1)))$ $ = c/(root(5)((x -4 + o(x - 1))(x -1 + o(x - 1)))$ $ ~ c/(root(5)((x^2 - 5x +4))) $
giusto?
perchè ancora una volta, il libro mi da invece
$x -> 1_+-$ ho che $f(x) ~ c/(x-1)^(1/5)$
e anche qui non capisco come ci arriva. Se riusciste a spiegarmelo mi sareste d'aiuto, è tutto il giorno che cerco di risolverli.
Ringrazio in anticipo per la disponibilità.
Risposte
"fenghuang":
$D[x] = root(3)((1 + log^2 x)log(1 + x^(2a))$
non riesco a svilupparlo. Il mio libro mi dà come risultato
$D[x] = root(3)((1 + log^2 x)log(1 + x^(2a))) $ $ ~ $ $ 2a^(1/3)x^alogx$
Non credo proprio che per $x->0$ e $a<0$, lo sviluppo del denominatore sia corretto.
Adesso, senza dirlo ad alta voce in questo forum, tu prendi una calolatrice e calcoli la formula esatta e poi calcoli lo sviluppo approssimato che da il tuo libro. Imposti ad esempio $x=10^(-4)$ e $a=-1$, vedi tu se sono "vicini"....
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