Problema sul limite di una successione definita per induzione
Salve, ho questo esercizio dove mi chiede di calcolare il limite di una successione definita per induzione:
$ { ( a_0=1 ),( a_(n+1)=(a_n^2 +1)/a_n ):} $
da qui ottengo che $ a_1>a_0 $ e $ a_(n+1)>a_n $ di conseguenza la successione è crescente e avrà limite (finito o infinito).
Ora per calcolare il limite sostituisco $ a_n=L $ e ottengo quindi:
$ L=(L^2+1)/L $
Ora questa equazione non ha soluzione (la $ L $ si annulla) quindi come limite cosa considero? $ +oo $ ? (che sarebbe anche il risultato secondo il mio professore) Oppure ho sbagliato qualcosa io nel procedimento?
$ { ( a_0=1 ),( a_(n+1)=(a_n^2 +1)/a_n ):} $
da qui ottengo che $ a_1>a_0 $ e $ a_(n+1)>a_n $ di conseguenza la successione è crescente e avrà limite (finito o infinito).
Ora per calcolare il limite sostituisco $ a_n=L $ e ottengo quindi:
$ L=(L^2+1)/L $
Ora questa equazione non ha soluzione (la $ L $ si annulla) quindi come limite cosa considero? $ +oo $ ? (che sarebbe anche il risultato secondo il mio professore) Oppure ho sbagliato qualcosa io nel procedimento?
Risposte
Si può fare una dimostrazione per assurdo e concludere che $L$ non esiste.
Abbiamo già visto che la successione è strettamente crescente.
Se esiste finito un limite $L$ significa che $\foralln \in N, a_n\leL$.
Chiamiamo $S_n$ la differenza $L-a_n$: deve essere che $lim_(n->oo)S_n=0$.
$S_n$ può essere pensata come la serie della differenza tra il termine $n+1$-esimo e $n$-esimo, cioè
$S_n=\sum_(n)^(oo)a_(n+1)-a_n$.
Ma $S_n=\sum_(n)^(oo)a_(n+1)-a_n= \sum_(n)^(oo)1/(a_n)\ge\sum_(n)^(oo)1/L$.
Avendo supposto $L$ finito, $S_n$ diverge, ma ciò è assurdo, quindi $L$ non esiste (finito).
Abbiamo già visto che la successione è strettamente crescente.
Se esiste finito un limite $L$ significa che $\foralln \in N, a_n\leL$.
Chiamiamo $S_n$ la differenza $L-a_n$: deve essere che $lim_(n->oo)S_n=0$.
$S_n$ può essere pensata come la serie della differenza tra il termine $n+1$-esimo e $n$-esimo, cioè
$S_n=\sum_(n)^(oo)a_(n+1)-a_n$.
Ma $S_n=\sum_(n)^(oo)a_(n+1)-a_n= \sum_(n)^(oo)1/(a_n)\ge\sum_(n)^(oo)1/L$.
Avendo supposto $L$ finito, $S_n$ diverge, ma ciò è assurdo, quindi $L$ non esiste (finito).
Ho capito, quindi dato che $ L $ non esiste e la successione è crescente allora il limite tenderà a $ +oo $
Avrei un esempio che non ho capito tanto bene.Praticamente c'è un esempio sul libro dove mi dice:
$ { ( a_0=alpha ),( a_(n+1)=sqrt(1+a_n)):} $
Prendendo $ alpha >= -1 $, la funzione $ f(x)=sqrt(1+x) $ è crescente (quindi come il caso di prima) quindi per ogni $ alpha in R $ la successione ha un limite $ L_alpha $ .Per determinare il valore di $ L_alpha $ si risolve l'equazione $ L=sqrt(1+L $ che ha come soluzioni:
$ L_1=+oo $ $ L_2=(1+sqrt(5))/2 $
Ora come mai la prima soluzione è $ +oo $?? Non dovrebbe essere semplicemente $ L=(1-sqrt(5))/2 $??
Avrei un esempio che non ho capito tanto bene.Praticamente c'è un esempio sul libro dove mi dice:
$ { ( a_0=alpha ),( a_(n+1)=sqrt(1+a_n)):} $
Prendendo $ alpha >= -1 $, la funzione $ f(x)=sqrt(1+x) $ è crescente (quindi come il caso di prima) quindi per ogni $ alpha in R $ la successione ha un limite $ L_alpha $ .Per determinare il valore di $ L_alpha $ si risolve l'equazione $ L=sqrt(1+L $ che ha come soluzioni:
$ L_1=+oo $ $ L_2=(1+sqrt(5))/2 $
Ora come mai la prima soluzione è $ +oo $?? Non dovrebbe essere semplicemente $ L=(1-sqrt(5))/2 $??
e no la $1/2-\sqrt 5/2$ non è soluzione dell'equazione; mentre $+\infty$ verifa l'uguagliaza
Scusa evidentemente mi sfugge qualcosa...mi potresti spiegare il perchè?
l'equazione
\[x=\sqrt{1+x}\]
che soluzioni ha?
\[x=\sqrt{1+x}\]
che soluzioni ha?
"Noisemaker":
l'equazione
\[x=\sqrt{1+x}\]
che soluzioni ha?
Giusto! la soluzione è solo $ x=(1+sqrt(5))/2 $ perchè con $ x=(1-sqrt(5))/2 $ non tornerebbe $ x=sqrt(1+x) $ e di conseguenza dato che la successione è crescente quella soluzione sarà $ +oo $...giusto?
dato che la successione è crescente, allora il limite della successione esiste, finito o infinito; allora se il limite è finito non può che essere $x=(1+sqrt(5))/2$, altrimenti il limite è $+\infty.$ Devi quindi stabilire se il limite è finito oppure no.
"Noisemaker":
dato che la successione è crescente, allora il limite della successione esiste, finito o infinito; allora se il limite è finito non può che essere $x=(1+sqrt(5))/2$, altrimenti il limite è $+\infty.$ Devi quindi stabilire se il limite è finito oppure no.
Capito, il limite può essere finito o infinito quindi di conseguenza non può avere 2 soluzioni finite...
@alessi0_r. Perdonami: che vuol dire "non può avere 2 soluzioni finite"?
"Plepp":
@alessi0_r. Perdonami: che vuol dire "non può avere 2 soluzioni finite"?
Forse mi sono espresso male, dato che la successione è crescente, il limite può essere finito o infinito come diceva anche Noisemaker quindi di conseguenza le soluzioni saranno: una finita ( $ L=(1+sqrt(5))/2 $ ) e l'altra infinito...io mi riferivo al caso generale, se trovavo 2 soluzioni finite dall'equazione, dovevo scegliere quale delle due prendere in considerazione (oltre a $ oo $) per poi stabilire se il limite è finito o infinito.
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