Problema sui massimi e i minimi

[jivi85]

Fra tutti i cilindri della stessa superficie totale, qual'è quello di volume massimo?

[Umby2]

Sicuramente NON il cilindro con base piccolissima, ed altezza massima,
ne tantomeno quello con grande base e di altezza bassissima

una via di mezzo....

ricordo che qualcuno dimostrò che il cilindro massimo si ottiene con altezza uguale al diametro.

[Sk_Anonymous]

L'area totale di un cilindro è data dalla somma di due volte l'area di base A=(pigreco*r al quadrato) per il rettangolo formato dall'altezza h e dallo sviluppo della circonferenza: C=2*pigreco*r. Il volume è invece il prodotto dell'area di base (1) V=(pigreco*r al quadrato) per l'altezza h. Consideriamo la superficie totale S=2A+C= 2*pigreco*r al quadrato + 2*pigreco*r*h. Questa è la funzione da rendere MINIMA. Applichiamo il teorema di Rolle (deriviamo ed uguagliamo a zero la derivata): S'=4*pigreco*r+2*pigreco*h; ponendo tale funzione uguale a zero si ha: 2*pigreco*(2r+h)=0. Perché sia 0 dovrà essere h = 2r, ovvero il cilindro di AREA MINIMA con il MASSIMO VOLUME. Sostituendo tale valore nella (1) si ha V=pigreco*r al quadrato per h = pigreco * r al quadrato * 2 * r = 2*pigreco *r al cubo. Pertanto la risposta è: quello in cui l'altezza del cilindro è uguale al diametro della base.

[adaBTTLS1]

naturalmente il risultato è lo stesso, però mi pare che il testo chieda un'altra cosa: considerare $S$ costante e determinare le caratteristiche del cilindro di volume massimo.
in tal caso $S=2pir^2+2pirh$, $h=(S-2pir^2)/(2pir)$, $V=pir^2h$, $V=pir^2*(S-2pir^2)/(2pir)=1/2Sr-pir^3$, $V'=1/2S-3pir^2$.
$V'=0$ per $r^2=S/(6pi)$. si ottiene $h=2r=sqrt((2S)/(3pi))$