Problema successione di funzioni
Salve a tutti, dopo quasi un anno di assenza mi ritrovo qui a chiedere il vostro aiuto circa dei chiarimenti riguardo le successioni di funzioni.
L'esercizio incriminato è questo: Data la seguente successione di funzioni si stabilisca l'insieme di convergenza puntuale e uniforme.
$f_n (x) = n^2 / (x^4 + 3n^2)$
Ho pensato di procedere in questa maniera:
Per la convergenza puntuale ho fatto il limite per $n->+oo$ di $f_n (x)$ che è pari a $1/3$, per cui l'insieme di convergenza puntuale è tutto $R$
Quanto alla convergenza uniforme è qui che ho "problemi". MI dovrei calcolare $\lim_{n \to \infty}(\lim_{x in R} sup |n^2/(x^4 + 3n^2) - 1/3|)$ tuttavia tale limite viene $1/3$ che è diverso da $0$.
Posso dunque concludere che, essendo tale limite diverso da $0$, non vi è convergenza uniforme in tutto $R$?
Mi sono poi calcolato la derivata prima della funzione di cui dovrei calcolare il sup $f'_n (x) = 12x^3 n^2/((3x^4 + 3n^2)^2)$ ma si annulla solo per $x = 0$ che è un punto di minimo assoluto se non erro.
Come posso trovare un insieme di convergenza uniforme?
L'esercizio incriminato è questo: Data la seguente successione di funzioni si stabilisca l'insieme di convergenza puntuale e uniforme.
$f_n (x) = n^2 / (x^4 + 3n^2)$
Ho pensato di procedere in questa maniera:
Per la convergenza puntuale ho fatto il limite per $n->+oo$ di $f_n (x)$ che è pari a $1/3$, per cui l'insieme di convergenza puntuale è tutto $R$
Quanto alla convergenza uniforme è qui che ho "problemi". MI dovrei calcolare $\lim_{n \to \infty}(\lim_{x in R} sup |n^2/(x^4 + 3n^2) - 1/3|)$ tuttavia tale limite viene $1/3$ che è diverso da $0$.
Posso dunque concludere che, essendo tale limite diverso da $0$, non vi è convergenza uniforme in tutto $R$?
Mi sono poi calcolato la derivata prima della funzione di cui dovrei calcolare il sup $f'_n (x) = 12x^3 n^2/((3x^4 + 3n^2)^2)$ ma si annulla solo per $x = 0$ che è un punto di minimo assoluto se non erro.
Come posso trovare un insieme di convergenza uniforme?
Risposte
Al numeratore cosa c'e' ?
$n^3$, $n^2$, $x^4$, o cosa ?
$n^3$, $n^2$, $x^4$, o cosa ?
Ora ho sistemato. Scusi per la svista. Al numeratore c'è $n^2$
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