Problema Successione convergente
Salve a tutti,
non so se questa è la sezione giusta visto che ho un problema d'ingegneria.
Mi ritrovo in un problema una successione di termini di questo tipo
Sia $P$ un valore numerico assegnato e $alpha$ e $B$ parametri altrettanto noti
Dunque ho la seguente successione
$Q_0=P$
$Q_1=P+Q_0 - alpha*Q_0^(-B)$
$Q_2=P+Q_1 - alpha*Q_1^(-B)$
$Q_3=P+Q_2 - alpha*Q_2^(-B)$
etc.
$Q_(n+1)=P+Q_n -alpha*Q_n^(-B)$
Vorrei calcolare il termine a cui converge la successione
Personalmente so che converge perchè ho implementato il calcolo su un foglio elettronico e dopo qualche step si vede che il termine n-esimo non cresce più.
Ora ho provato in tutti i modi a ricavare in modo analitico il termine a cui converge ma non ho concluso nulla! Solo fogli di calcoli abominevoli!
Se non ricordo male gli insegnamenti del prof dovrebbe trattarsi di una successione di somme parziali, ma posso ricavarmi il termine a cui converge?
Se sì come?
Grazie in anticipo per la disponibilità
non so se questa è la sezione giusta visto che ho un problema d'ingegneria.
Mi ritrovo in un problema una successione di termini di questo tipo
Sia $P$ un valore numerico assegnato e $alpha$ e $B$ parametri altrettanto noti
Dunque ho la seguente successione
$Q_0=P$
$Q_1=P+Q_0 - alpha*Q_0^(-B)$
$Q_2=P+Q_1 - alpha*Q_1^(-B)$
$Q_3=P+Q_2 - alpha*Q_2^(-B)$
etc.
$Q_(n+1)=P+Q_n -alpha*Q_n^(-B)$
Vorrei calcolare il termine a cui converge la successione
Personalmente so che converge perchè ho implementato il calcolo su un foglio elettronico e dopo qualche step si vede che il termine n-esimo non cresce più.
Ora ho provato in tutti i modi a ricavare in modo analitico il termine a cui converge ma non ho concluso nulla! Solo fogli di calcoli abominevoli!
Se non ricordo male gli insegnamenti del prof dovrebbe trattarsi di una successione di somme parziali, ma posso ricavarmi il termine a cui converge?
Se sì come?
Grazie in anticipo per la disponibilità
Risposte
Direi che è un problema di punto fisso. Per trovare la soluzione stazionaria, poni
$Q=P+Q-\alpha \cdot Q^{-B}$
Se non riesci a trovare una soluzione analitica, puoi approssimare la soluzione partendo da una stima iniziale e poi applicando la legge di ricorrenza $Q_n=P+Q_{n-1}-\alpha\cdot Q_{n-1}^{-B}$ finchè non giungi ad una stima accettabile, ma questo lo fa già il tuo programma. Idem per il metodo grafico, dato che immagino tu abbia già una stima numerica del valore.
$Q=P+Q-\alpha \cdot Q^{-B}$
Se non riesci a trovare una soluzione analitica, puoi approssimare la soluzione partendo da una stima iniziale e poi applicando la legge di ricorrenza $Q_n=P+Q_{n-1}-\alpha\cdot Q_{n-1}^{-B}$ finchè non giungi ad una stima accettabile, ma questo lo fa già il tuo programma. Idem per il metodo grafico, dato che immagino tu abbia già una stima numerica del valore.
Innanzitutto grazie per la risposta ma comunque con ciò che mi proponi non pervengo ugualmente alla soluzione analitica ma devo pur sempre usare un calcolatore.
Insomma il prof all'esame chiede dopo quanti step si arriva alla condizione di stazionarietà, e quanto vale questo valore stazionario.
Quindi avrei bisogno di pervenire a un metodo analitico che mi permette di calcolarlo.
Insomma il prof all'esame chiede dopo quanti step si arriva alla condizione di stazionarietà, e quanto vale questo valore stazionario.
Quindi avrei bisogno di pervenire a un metodo analitico che mi permette di calcolarlo.
In realtà alla soluzione analitica ci arrivi sì:
$Q^B=\frac{\alpha}{P} \Rightarrow Q= root(B) (\frac{\alpha}{P})$
Per quanto riguarda il numero di passaggi non ti so dire, non so se puoi trattarlo come un comune problema di punto fisso, nel qual caso hai la convergenza del metodo se la derivata prima dell'espressione $g(Q)$ è costantemente $<1$, ma siccome parti da una stima data, credo sia diverso il procedimento da utilizzare...
Ciao,
Frink
$Q^B=\frac{\alpha}{P} \Rightarrow Q= root(B) (\frac{\alpha}{P})$
Per quanto riguarda il numero di passaggi non ti so dire, non so se puoi trattarlo come un comune problema di punto fisso, nel qual caso hai la convergenza del metodo se la derivata prima dell'espressione $g(Q)$ è costantemente $<1$, ma siccome parti da una stima data, credo sia diverso il procedimento da utilizzare...
Ciao,
Frink
WOW... senza parole...
sei un grande... grazie^^
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